On the definition by transfinite induction and related questions of general set theory. (Q1440060)

I. Es wird gezeigt, daß\ das \textit{Fraenkel}sche Ersetzungsaxiom -- wenn \(M\) eine Menge und \(f\) eine Funktion ist, so gibt es eine Menge \(M'\) deren Elemente sämtliche \(f(x)\) mit \(x;\varepsilon;M\) und nur diese sind -- aus den übrigen Axiomen der Mengenlehre herleitbar ist, wenn man bei der Formulierung des Aussonderungsaxioms den Fraenkelschen Funktionsbegriff zugrundelegt. Es wird also eine Erweiterung des Funktionsbegriffs nötig, da die Fraenkelsche Axiomatik ohne das Ersetzungsaxiom zur Sicherung spezieller Mengen und zur Ordinalzahltheorie nicht ausreicht, und es wird auch eine Erweiterung vorgeschlagen, von der sich zeigen läßt, daß\ sie das Verlangte leistet, insbesondere das Ersetzungsaxiom von den übrigen unabhängig macht. Anmerkung: Um diese Unabhängigkeit nachzuweisen, hat man eine Mengenlehre zu konstruieren, die den üblichen Axiomen genügt, aber nur Mengen der Mächtigkeit \[ <\aleph_0+2^{\aleph_0}+2^{2\aleph_0}+\cdots \] enthält (briefliche Mitteilung von \textit{J. von Neumann}). II. Es werden die Ordinalzahlen (kurz OZ) folgendermaßen definiert: Eine wohlgeordnete Menge \(M\) ist dann und nur dann OZ, wenn für alle \(x;\varepsilon;M\) gilt: \[ x=A(x;M); \] dabei bedeutet \(A(x;M)\) den durch \(x\) bestimmten Abschnitt (Anfangsstück, Gesamtheit der Vorgänger) von \(M\). Es läßt sich dann zeigen: (1) Zu jeder wohlgeordneten Menge gibt es eine und nur eine ihr ähnliche OZ. (2) Von zwei verschiedenen OZ ist eine echte Teilmenge der anderen. (3) Dann und nur dann ist \(P\) eine \(OZ\), wenn aus \(Q\varepsilon P\) folgt, daß\ \(Q\) eine OZ und Teilmenge von \(P\) ist. (4) Man kann mit Hilfe der OZ auch die Kardialzahlen (kurz KZ) definieren: Eine OZ \(P\) ist dann und nur dann KZ, wenn für keine OZ \(Q<P\) gilt, daß\ \(P\) und \(Q\) äquivalente Mengen sind. Dann gibt es zu jeder wohlordnungsfähigen Menge eine und nur eine ihr äquivalente KZ (bei Benutzung des Wohlordnungssatzes also zu jeder Menge schlechthin). III. Ist \(f\) irgendeine für einen gewissen Bereich von OZ definierte Funktion, so sei \(F(f,P)\) die für alle OZ \(<P\) definierte Funktion, die dort dieselben Werte wie \(f\) hat; dann gilt der folgende Existenzsatz: Wenn \(\varphi\) eine Funktion (von zwei Variabeln) ist, so gibt es eine und nur eine Funktion \(f\) (einer Variabeln), die nur für die OZ definiert ist, und bei der für jede OZ \(P\) gilt: \[ f(P)=\varphi[F(f,P),P]. \] Damit ist gezeigt, daß\ die Definition durch transfinite Induktion stets zu einem eindeutig bestimmten Ergebnis führt. (I 2.)