Ein Satz über Untermengen einer endlichen Menge. (Q1440066)

Verf. beschäftigt sich mit den Untermengen einer endlichen Menge \(\mathfrak M\) von \(n\) Elementen. Von zwei Untermengen \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) der Menge \(\mathfrak M\) heißt \(\mathfrak A\) Teilmenge von \(\mathfrak B\) und \(\mathfrak B\) Obermenge von \(\mathfrak A\), wenn alle Elemente von \(\mathfrak A\) in \(\mathfrak B\) vorkommen. Ein System \(\Sigma\) von Untermengen heißt ausgezeichnet, wenn keine der in \(\Sigma\) vorkommenden Untermengen Teilmenge einer anderen solchen ist. Die Anzahl der Elemente einer Untermenge von \(\mathfrak M\) nennt Verf. ihre Ordnung; die Anzahl der in einem System von Untermengen von \(\mathfrak M\) enthaltenen Untermengen heißt sein Grad. Verf. beweist den folgenden Satz: Der Grad eines ausgezeichneten Systems \(\Sigma\) von Untermengen der gegebenen Menge \(\mathfrak M\) ist stets \(\leq \binom{n}{{n\brack 2}}\); das Gleichheitszeichen gilt bei geradem \(n\) dann und nur dann, wenn \(\Sigma\) aus sämtlichen Untermengen der Ordnung \(\frac n2\) besteht, bei ungeradem \(n\) dann und nur dann, wenn \(\Sigma\) aus sämtlichen Untermengen der Ordnung \(\frac{n+1}{2}\) oder aus sämtlichen Untermengen der Ordnung besteht. Der Beweis operiert mit dem folgenden Hilfssatz: \(m\) voneinander verschiedene Untermengen \(k\)-ter Ordnung der Menge \(\mathfrak M\) besitzen wenigstens \(m+1\) voneinander verschiedene Teilmengen der Ordnung \(k-1\), wenn \(k>\frac{n+1}{2}\) ist. (III 2.)