Über einige Mengenoperationen. (Q1440086)

Es sei eine Folge von linearen Mengen \(E_1, E_2, E_3,\dots\) gegeben; man setze \[ X(E_1,E_2,\dots)=\sum E_{n_1} \cdot E_{n_2} \cdot E_{n_3},\dots; \] dabei ist die Summation zu erstrecken über alle Ketten \(n_1,n_2,n_3,\dots\) von natürlichen Zahlen, die einem gegebenen System \(N\) von solchen Ketten angehören. Verf. untersucht einige Eigenschaften dieser Operation, die nichts anderes ist als die ``\(\delta s\)-Funktion'' von \textit{Hausdorff} (Mengenlehre, 2. Aufl. 1927, S. 89; F. d. M. 53, 169 (JFM 53.0169.*)). Man bezeichnet als ``\(X\)-Menge'' jede lineare Menge, die man mit Hilfe der Operation \(X\) aus abgeschlossenen Mengen erhält. Es gilt der folgende allgemeine Satz: ``\textit{es existiert stets \(X\)-Menge, deren Komplementärmenge nicht von derselben Natur ist}''. Die zu \(N\) ``komplementäre Kette'' definiert man als eine Folge von natürlichen Zahlen, die mit jeder Kette von \(N\) mindestens ein Element gemeinsam haben. Das System \(\overline{N}\) der zu \(N\) komplementären Ketten definiert eine Operation \(\overline{X}\), die zu \(X\) komplementär heißt. Wendet man \(\overline{X}\) auf die Komplemente der \(E_i\) an, so erhält man das Komplement von \(E\). Man betrachte nunmehr die kleinste Klasse \(W(X)\) von Mengen, die alle abgeschlossenen Mengen enthält und sowohl in bezug auf die Operation \(X\) als auch in bezug auf \(\overline{X}\) invariant ist. Ausgehend von abgeschlossenen bzw. offenen Mengen baut Verf. durch wiederholte Anwendung der Operation \(X\) oder \(overline X\) eine transfinite Stufenleiter von Unterklassen \(W_\alpha(X), \overline{W}_\alpha(X)\) auf, von denen keine leer ist. Diese Klassifikation enthält als Spezialfall diejenige der meßbaren \(B\)-Mengen ebenso wie die der \(C\)-Mengen von \textit{Selivanovskij} (vgl. die vorstehend referierte Arbeit).