A system of algebraically independent numbers. (Q1440092)

Die \(m\) Zahlen \(a_1,a_2,\dots,a_m\) bilden ein algebraisch unabhängiges System, wenn sie die folgende Eigenschaft besitzen: Eine Gleichung \[ \Phi(a_1,a_2,\dots,a_m)=0, \] in der \(\Phi(x_1,x_2,\dots,x_m)\) ein Polynom mit rationalen Koeffizienten bedeutet, besteht dann und nur dann, wenn \(\Phi(x_1,x_2,\dots,x_m)\) identisch Null ist. \textit{H. Lebesgue} und \textit{E. Steinitz} haben (1906--1907 bzw. 1910) die Existenz einer Menge \(M^\ast\) bewiesen, die von der Mächtigkeit des Kontinuums ist und die folgende zwei Eigenschaften hat: (1) Jede endliche Teilmenge von \(M^*\) ist ein algebraisch unabhängiges System. (2) Zu jeder nicht zu \(M^*\) gehörigen Zahl \(x\) gibt es eine endliche Teilmenge von \(M^*\), die zusammen mit \(x\) kein algebraisch unabhängiges System bildet. Während Lebesgue und Steinitz die Konstruktion von \(M^*\) nur unter Anwendung des Wohlordnungssatzes gelang, gibt Verf. eine die Eigenschaft (1) besitzende Menge \(M\) von der Mächtigkeit des Kontinuums effektiv, d. h. ohne Benutzung des Wohlordnungssatzes, an, und zwar ist \(M\) identisch mit der Gesamtheit der dyadischen Brüche \[ A_\varrho=\sum_{\nu=0}^\infty \frac{2^{2^{[\varrho \nu]}}}{2^{2^{\nu^2}}} \] \((\varrho>0;\;[x]= \)größte ganze Zahl \(\leq x)\).