On differentiating a matrix. (Q1440165)

Sind \(n^2\) Veränderliche \(x_{ik}\) gegeben, so werde unter \(\Omega\) der Differentialoperator \[ \Omega= \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x_{11}} \cdots \frac{\partial}{\partial x_{n1}} \\ \hdotsfor1\\ \frac{\partial}{\partial x_{1n}} \cdots \frac{\partial}{\partial x_{nn}} \end{pmatrix} \] verstanden. Anwendung von \(\Omega\) auf eine Funktion \(f\) der \(x_{ik}\) oder auf eine Matrix \(Y\), deren Elemente Funktionen der \(x_{ik}\) sind, wird als Multiplikation der Matrix \(\Omega\) mit \(f\) bzw. mit \(Y\) definiert, wobei die Elemente von \(\Omega\) genau so wie Zahlen zu behandeln sind. Es werden einige formale Gesetze für derartige Operatoren abgeleitet. Als Beispiele mögen etwa folgende dienen: Ist \(X\) die Matrix \((x_{ik})\), ist \(s_\nu\) die \(\nu\)-te Potenzsumme ihrer charakteristischen Wurzeln, so ist \[ \begin{aligned} & \Omega X^r=nX^{r-1}+s_1 X^{r-2}+\cdots +s_{r-1},\\ & \Omega s_r=r X^{r-1}.\end{aligned} \]