Über die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion im Matrizenkalkül. (Q1440166)

Die \(m^2\) Elemente einer Matrix \(E(x)\) vom Grade \(m\) seien für alle reellen Werte von \(x\) definierte Funktionen von \(x\), die für mindestens einen Wert von \(x\) sämtlich stetig seien. Besteht dann für beliebige reelle Wertsysteme \(x, y\) die Funktionalgleichung \[ E(x)E(y)=E(x+y), \] und ist für mindestens einen Wert von \(x\) die Determinante \(\| E(x) \| \neq 0\), so ist jedes der \(n\) Elemente der Matrix von der Form \[ P_1(x)e^{a_1z}+P_2(x)e^{a_2x}+\cdots +P_l(x)e^al^x. \] Dabei bedeuten \(a_1,a_2,\dots,a_l\) Konstanten und \(P_1(x),P_2(x),\dots,P_l(x)\) Polynome. Der Beweis wird geführt, indem auf direktem Wege aus der Funktionalgleichung die Differenzierbarkeit der Elemente von \(E(x)\) hergeleitet, und dann gezeigt wird, daß\ diese Elemente einem System linearer homogener Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten genügen.