Mathematische Miszellen. XII: Bemerkungen zum Beweise des Budan-Fourierschen und Newton-Sylvesterschen Satzes. (Q1440202)

Der Beweis des \textit{Budan-Fourier}schen Theorems läß\ t sich besonders einfach in dem Fall führen, daß\ weder das betrachtete Polynom \(f(x)\) noch eine seiner Ableitungen mehrfache Wurzeln hat. Auf diesen Fall kann man sich aber beschränken, wenn man vorher den folgenden, in der vorliegenden Arbeit (auf sehr einfache Weise) bewiesenen Satz verwendet: Die Koeffizienten eines reellen Polynoms \(f(x)\) lassen sich durch Erteilung absolut beliebig kleiner Zuwächse derart variieren, daß\ das variierte Polynom dieselbe Anzahl reeller Wurzeln besitzt wie \(f(x)\) und zugleich nebst allen Ableitungen lauter einfache Wurzeln hat. Auch beim Beweis des \textit{Newton-Sylvester}schen Satzes läß\ t sich das genannte Verfahren mit Vorteil verwendet. Man hat dann die Abänderung der Koeffizienten so durchzuführen, daß\ außer den genannten zwei Bedingungen noch eine dritte erfüllt ist.