Polynomials \(f(\varphi (x))\) reducible in fields in which \(f(x)\) is irreducible. (Q1440210)

Verf. stellt sich die folgende Aufgabe: Gegeben sei ein Polynom \(f(x)\) mit Koeffizienten aus einem Rationalitätsbereich \(\mathfrak R\), das in \(\mathfrak R\) irreduzibel ist. Es sollen alle Polynome \(\varphi(x)\) mit Koeffizienten aus \(\mathfrak R\) bestimmt werden, für die \(f(\varphi(x))\) in \(\mathfrak R\) reduzibel ist. Es werden folgende zwei Hilfssätze vorausgeschickt: (1) Es bezeichnen \(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n\) die Nullstellen von \(f(x)\) und \(\mathfrak R'\) den Galois'schen Körper über \(\mathfrak R\). Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Reduzibilität von \(f(\varphi(x))\) in \(\mathfrak R\) ist die Reduzibilität aller \(\varphi(x)-\vartheta_\nu\) \((\nu=1,2,\dots,n)\) in \({\mathfrak R}'\). (2) Jeder Teiler \(A(x)\) von \(f(\varphi(x))\) über \(\mathfrak R\) ist darstellbar in der Form \[ A(x)=a(x,\vartheta_1)a(x,\vartheta_2) \dots a(x,\vartheta_n); \] dabei bedeutet \(a(x,\vartheta_\nu)\) den größten gemeinsamen Teiler von \(\varphi(x)-\vartheta_\nu\) und \(A(x)\) in \(\mathfrak R'\). Mit Hilfe von (1) und (2) kann Verf. die Gestalt der Teiler von \(f(\vartheta(x))\) angeben. Ferner wird die folgende Umkehrung von (2) bewiesen: (3) Zu jedem Polynom \(a(x,y)\) der unabhängigen Variablen \(x\) und \(y\) mit Koeffizienten aus \(\mathfrak R\) läß\ t sich ein Polynom \(\varphi_0(x)\) mit Koeffizienten aus \(\mathfrak R\) so angeben, daß\ \(f(\varphi(x))\) durch \[ A(x)=a(x,\vartheta_1) a(x,\vartheta_2) \dots a(x,\vartheta_n) \] teilbar ist. Aus (3) ergibt sich ein Verfahren zur Konstruktion der \(\varphi(x)\).