Über einen grundlegenden Satz der Invariantentheorie. (Q1440260)

Es handelt sich um den grundlegenden Satz der Invariantentheorie: Ändert sich eine Größ\ e \(F\) bei linearen homogenen Transformationen \(S\) der Variabeln \(x_1,\dots,x_n\) um einen nur von den \(S\)-Koeffizienten abhängigen Faktor \(\varphi\), so kann \(\varphi\) nur eine Potenz der \(S\)-Determinante sein. Während die früheren Beweise irgendwelche algebraische Theoreme verwenden, beruht der Beweis von \textit{W. Groß\ } (1918) auf der Gruppeneigenschaft der \(S\). Vorausgesetzt ist, daß\ \(\varphi\) in der Umgebung der identischen Transformation stetig sei, und partielle Ableitungen nach den Koeffizienten auch für komplexe Werte derselben besitze. Die allgemeine \(S\) wird dabei aus Schiebungen und Drehungen zusammengesetzt. Der vorliegende Beweis ist rein rechnerisch; unter Beschränkung auf das reelle Gebiet sind die Voraussetzungen wie bei \textit{Groß}, nur daß\ auch die Stetigkeit der Ableitungen verlangt wird. Zugrunde liegt eine allgemeine Funktionalgleichung, der \(\varphi\) genügen muß\ ; diese erhält infolge der gemachten Voraussetzungen spezifische einfache Eigenschaften.