Über einen gemischten Tensor. (Q1440263)

Bilden \(\omega_1,\dots,\omega_n\) eine Basis in einem komplexen Zahlensystem, und ist \[ \omega_i \omega_k=\sum_\lambda A_{ik}^\lambda \omega_\lambda, \] so sind die \(A\) die Komponenten eines gemischten Tensors \((A_{ik}^\lambda)\), wenn man die Gruppe \(G\) der linearen homogenen Substitutionen zugrunde legt. Dieser Tensor besitzt im allgemeinen ein kompliziertes Invariantensystem bezüglich \(G\). Ist aber im besondern \[ A_{ik}^\lambda=A_{ki}^\lambda, \] und befolgen überdies die \(A\) die assoziative Multiplikation, so reduziert sich das vollständige Invariantensystem auf eine einzige Invariante \(\Delta\) vom Grade \(2n\) in den \(\omega\). Bilden die \(\omega\) die Basis eines algebraischen Zahlkörpers, so fällt \(\Delta\) mit der Körperdiskriminante zusammen. Zum Beweise dient die symbolische Methode. Man setze: \[ A_{ik}^\lambda = A_iA_kA_\lambda'=B_iB_kB_\lambda'=\cdots. \] Die Invarianten \(I\) des Tensors werden nach dem ``ersten Fundamentulsatze'' als Invarianten von Linearformen \(A_i,A_\lambda',\dots\) aufgebaut. Infolge der obigen Voraussetzungen gelangt man dann zu ``Ketten'' der Gestalt: \[ (A_1'B_1)(B_1'B_2)(B_2'B_3)\dots; \] diese Ketten müssen aber abbrechen, was auf drei Arten möglich ist. Die nähere Diskussion derselben führt zu der einzig verbleibenden Invariante \(\Delta\). (III 5, V 7.)