A special pencil of binary quartics. (Q1440270)

Kennt man die Jacobiana \((ax)^6\) eines Büschels \(B\) binärer biquadratischer Formen, so gibt es bekanntlich fünf zugehörige Büschel \(B\), die sich durch irrationale Kovarianten von \((ax)^6\) bestimmen lassen. Man kennt auch zwei Sonderfälle, wo eines der \(B\) rational ausführbar ist; von den vier übrigen hängt es algebraisch ab. Im ersten Falle ist \((ax)^6\) das Produkt von drei zu einander konjugierten quadratischen Formen. Im zweiten Falle ist \((ax)^6\) das Quadrat einer kubischen Form. Beidemal läß\ t \((ax)^6\) eine automorphe lineare Gruppe zu, die im ersten Falle die Oktaedergruppe, im zweiten Falle eine Diedergruppe ist. Verf. fügt einen neuen, allgemeineren Fall hinzu, wo keine solche automorphe Gruppe existiert. liegen zwei apolare kubische Formen \((ax)^3\), \((a'x)^3\) vor, so läß\ t sich ein Büschel \(B\) bestimmen, das rational in den Koeffizienten beider Formen ist, so, daß\ deren Produkt die Jacobiana eines Büschels \(B\) wird; dieses ist also algebraisch von anderem Charakter, als die vier übrigen. Zugrunde liegt ein allgemeiner Satz über lineare Systeme \(I_n^p\) von \(p\) binären Formen der Ordnung \(n\). Enthält ein solches System \(I_n^p\) bei Variieren seiner Elemente stets ein festes System \(I_n^{p-1}\), und ist es zugleich in einem festen Systeme \(I_n^{p+1}\) enthalten, so erzeugt die Jacobiana von \(I_n^p\) ein Formenbüschel, dessen Jacobiana aus denen von \(I_n^{p-1}\) und \(I_{p+1}\) durch Multiplikation hervorgeht.