Irrationale Kovarianten und elliptische Funktionen. (Q1440278)

Die vorliegende Arbeit ist die weitere Ausführung einer früheren (1894; F. d. M. 26, 495 (JFM 26.0495.*)). Es handelt sich im wesentlichen um gewisse irrationale Kovarianten einer binären biquadratischen Form \[ F(x)=F(x_0,x_1), \] und ihren Zusammenhang mit elliptischen Funktionen und Integralen. Eine solche Form \(F\) läß\ t sich auf 32 Arten als Produkt von vier Linearformen \((r_kx)\) darstellen, die gewissen einfachen Forderungen genügen, und irrationale Kovarianten von \(F\) sind. Die zugehörige Galois'sche Gruppe \(G_{32}\) umfaß\ t \(24 \cdot 16\) Operationen, eben soviel wie die Zahl der geordneten Quadrupel von Formen \((r_kx)\), so daß\ sich immer 12 Quadrupel nur durch die Anordnung unterscheiden. Zu je 16 solchen Quadrupeln gehören drei in bestimmter Folge zu nehmende quadratische Kovarianten \(Q_1(x),Q_2(x),Q_3(x)\), entsprechend den Paarungen der vier Formen \((r_kx)\). Die Hauptanwendungen dieser Theorie erstrecken sich auf gewisse ``Normalgestalten'' der Form \(F\) und der zugehörigen elliptischen Integrale erster Gattung, sowie auf die \textit{Hermite}sche Transformation der letzteren. Ein wesentliches Hilfsmittel bietet sich dar durch den einfachen Zusammenhang zwischen den obigen Formen und den vier Thetafunktionen einer Variabeln \(u\). Bedient man sich bequemer des kleinen Buchstabens \(\vartheta\), so hat man die grundlegende Tabelle \((i=1,2,3)\): \[ \begin{aligned} \sqrt{(r_0x)}&=\vartheta u,\;\sqrt{(r,x)}=\vartheta_i u,\\ \sqrt{F(x)}&=\frac 12 \vartheta(0) \vartheta(2u),\;Q_i(x)=\frac 12 \vartheta_i(0) \vartheta_i(2u),\end{aligned} \] wo sich die Thetafunktionen auch durch die (ihnen proportionalen) \textit{Weierstraß}schen Sigmafunktionen ersetzen lassen. Algebraisch wird mit der Symbolik operiert, bei Zugrundelegung von Linearformen \[ (cx)=c_0x_1-c_1x_0,\dots. \] Das vollständige System der Form \(F\) besteht aus \(F\), den beiden Kovarianten \(H\) und \(T\), und den beiden Invarianten \(g_2\) und \(g_3\); aus letzteren setzt sich die Diskriminante \[ \Delta=g_2^3-27 g_3^2 \] zusammen. Die \textit{Weierstraß}schen Größen \(e_1, e_2, e_3\) sind die Wurzeln der kubischen Gleichung \[ 4s^3-g_2s -g_3=0. \] Vermöge einer Polarenidentität zwischen \(F\), \(H\) und \(T\) läß\ t sich, wenn ein Linearfaktor \((cx)\) von \(F\) bekannt ist, das Produkt der drei übrigen invariant darstellen. Liegt eine Zerlegung: \[ F(x)=(c_0x)(c_1x)(c_2x)(c_3x) \] vor, so existieren \(2 \cdot 16\) entsprechende: \[ F(x)=(r_0x) \dots (r_3x), \] je mit \(\sum_k(r_kx)^2 \equiv =0\). Bei zyklischer Folge der Indizes \(\lambda,\mu,\nu=1,2,3\) ist dann \[ (r_0 r_\lambda)=\pm (r_\mu r_\nu), \] wo man sich auf das untere Vorzeichen beschränken darf; es wird dann genauer: \[ (r_0 r_\lambda)=-(r_\mu r_\nu)=2 \sqrt{e_\mu-e_\nu}. \] Die obigen drei quadratischen Formen \(Q_\lambda(x)=(q_\lambda x)^2\) bestimmen sich durch die Festsetzungen: \[ (q_\mu q_\nu)^2=0,\dots,\frac 12(q_\lambda q_\lambda)^2=1,\dots, \frac 12(q_2q_3)(q_3q_1)(q_1q_2) =1. \] Die Quadrate der \(Q_\lambda\) gehören dem ``syzygetischen'' Büschel \((F,H)\) an, was seinen Ausdruck in den drei Identitäten findet: \[ \sum Q_\lambda^2 \equiv 0,\;\sum e_\lambda Q_\lambda^2 \equiv F(x),\;\sum e_\lambda^2 Q_\lambda^2 \equiv H(x), \] woraus sich eine Reihe von Folgerungen ziehen läßt. Dies findet seine Anwendung, um \(F\) und damit das Integral \[ \int \frac{dx}{\sqrt{F(x)}} \] auf gewisse Normalgestalten zu bringen. Es kommen vor allem drei solche in Betracht: Einmal die \textit{Weierstraß}sche, wo \(F(x)=4x^3-g_2x-g_3\), sodann die \textit{Cayley}sche, wo die Wurzeln von \(T\) als die drei Paare \(0,\infty;\pm i,\pm 1\) normiert sind, endlich die \textit{Riemann}sche, wo drei der Wurzeln von \(F\) in die Stellen \(0,\infty,1\) verlegt sind. Daran schließ\ t sich die \textit{Hermite}sche Transformation, bei der die Quotienten \(\frac HF,\frac{T}{F \sqrt F}\) als neue Variable eingeführt werden. Im übrigen ist auf die inhaltsreiche Abhandlung selbst zu verweisen; man kann sie als Muster einer Behandlung ansehen, die sowohl den algebraisch-symbolischen Gesichtspunkten, wie den transzendenten gerecht wird. (IV 6 C.)