Nachweis der Existenz nicht isomorpher Gruppen von gleicher Situation der Untergruppen. (Q1440301)

Zwei endliche Gruppen \(\mathfrak H\) und \(\mathfrak H'\) heißen von gleichem Situationsplan, wenn sich zwischen den Untergruppen von \(\mathfrak H\) und denen von \(\mathfrak H'\) eine solche eineindeutige Zuordnung herstellen läßt, daß\ die folgenden Bedingungen erfüllt sind: (1) Zugeordnete Untergruppen haben gleiche Elementeanzahl; (2) von zwei Untergruppen von \(\mathfrak H\) ist dann und nur dann die eine Untergruppe der anderen, wenn dasselbe für die zugeordneten Untergruppen von \(\mathfrak H'\) gilt; (3) zwei Untergruppen von \(\mathfrak H\) sind dann und nur dann konjugiert, wenn dasselbe für die zugeordneten Untergruppen von \(\mathfrak H'\) gilt. Dann wird gezeigt: I. Wenn von zwei Gruppen mit gleichem Situationsplan die eine Abelsch ist, so sind die beiden Gruppen isomorph. II. Ist \(f(\delta,{\mathfrak H})\) die Anzahl der Systeme konjugierter Elemente aus \(\mathfrak H\), deren Elementeanzahl genau \(\delta\) ist, und haben \(\mathfrak H\) und \(\mathfrak H'\) den gleichen Situationsplan, so ist: III. Es gibt nicht-isomorphe Gruppen von gleichem Situationsplan. Diese Gruppen wurden von \textit{O. Hölder} (Math. Ann. 43 (1893), 340; F. d. M. 25, 201 (JFM 25.0201.*)-202) angegeben.