Untersuchungen über einen verallgemeinerten Gruppenbegriff. (Q1440335)

Es wird die folgende -- u. a. durch den \textit{Prüfer}schen Scharbegriff nahegelegte Verallgemeinerung des Gruppenbegriffs studiert: Ein System \(\mathfrak M\) von Elementen heiß\ t eine \(n\)-Gruppe, wenn jedem geordneten \(n\)-tupel von Elementen \(x_1,\dots,x_n\) aus \(\mathfrak M\) eindeutig ein Element \(x_1x_2 \dots x_n\) aus \(\mathfrak M\) zugeordnet wird, so daß\ gilt: I. Das assoziative Gesetz: es ist stets \[ \begin{aligned} (x_1 \dots x_n) \dots x_{2n-1}&=\cdots =x_1 \dots x_\nu(x_{\nu+1} \dots x_{\nu+n}) x_{\nu+n+1} \dots x_{2n-1}\\ &=\cdots=x_1 \dots x_{n-1}(x_n \dots x_{2n-1}).\end{aligned} \] II. Durch den Wert eines ``Produktes'' \(x_1 \dots x_n\) und \(n-1\) gegebene ``Faktoren'' wird der fehlende Faktor (an beliebiger Stelle) stets eindeutig bestimmt. Aus der Theorie der gewöhnlichen Gruppen, der 2-Gruppen, läß\ t sich eine Reihe von Begriffen und Sätzen auf beliebige \(n\)-Gruppen übertragen: Begriff der Untergruppe und Zerlegungen nach einer Untergruppe, Normalteiler (Seminormalteiler, da die Verallgemeinerung nicht eindeutig festliegt, wie auch der Begriff der Abelschen Gruppe sich in mehreren Weisen verallgemeinern läßt); es gilt der Satz, daß\ die Restklassen nach einem Seminormalteiler eine Gruppe bilden, sowie der Eindeutigkeitssatz für Kompositionsreihen, unter Voraussetzung ihrer Existenz. Weiter kann man, wie üblich, von der Homomorphie zur Isomorphie übergehen, wenn man nur die homomorphe Gruppe durch ihre Faktorgruppe nach einem geeigneten Seminormalteiler ersetzt. Schließlich wird noch das Verhältnis zu den Prüferschen Scharen erörtert, die ja spezielle 3-Gruppen sind.