Beweis einer Normalrelation. (Q1440345)

Die vorliegende Note bildet eine Ergänzung zu zwei Arbeiten aus dem Jahre 1927 (F. d. M. 53; 116, 117), besonders zu zweiter dort an zweiter Stelle besprochenen Arbeit. Bezeichnet \(\Re\) den Ring der ganzen rationalen Zahlen, \(\mathfrak v\) die Hauptordnung, d. h. das System aller ganzen algebraischen Zahlen eines endlichen algebraischen Zahlkörpers \(\kappa,{\mathfrak D}\) diejenige einer endlichen Erweiterung \(K\) von \(\kappa\), bedeutet ferner \(N\) bzw. \(n\) die in \(\mathfrak D\) bzw. \(\mathfrak v\) hinsichtlich \(\Re\) genommene, \(N_{\mathfrak v}\) die in \(\mathfrak D\) bezüglich \(\mathfrak v\) gebildete Norm eines Ideals des jeweiligen Ringes, so gilt bekanntlich für ein Ideal \(m_{\mathfrak D}\) aus \(\mathfrak D\) die Gleichung \[ (*)\quad N({\mathfrak m_D})=n(N_{\mathfrak v}({\mathfrak m_D})). \] Die bekannten Beweise von \((*)\) benutzen die Äquivalenz der Hilbertschen und der Dedekindschen Normendefinition. Verf. beweist nun \((*)\) unter Zugrundelegung der letzteren Definition abstrakt für den Fall, daß\ von den drei ineinandergeschachtelten nullteilerfreien Ringen \(\Re,{\mathfrak v},{\mathfrak D}\) mit gemeinsamem Einheitselement der Ring \(\mathfrak D\) und damit auch \(\mathfrak v\) endliche \(\Re\)-Ordnungen und daß\ \(\Re\) und \(\mathfrak v\) Multiplikationsringe sind, ohne den Quotientenkörper \(K\) von \(\mathfrak D\) als Erweiterung erster Art des Quotientenkörper \(P\) von \(\Re\) vorauszusetzen. Unter einem Multiplikationsring wird dabei ein nullteilerfreier Ring mit Einheitselement verstanden, in dem jedes Ideal eindeutig als Potenzprodukt von Primidealen darstellbar ist. Den Kernpunkt des Beweises bildet eine Überlegung aus der Darstellungstheorie. (III 7.)