Idealtheorie in Quaternionenalgebren. (Q1440379)

Es bezeichne \[ \alpha=x_0 \iota_0 +x_a \iota_2 +x_3 \iota_3 \] ein Quaternion; dabei bedeuten \(x_0,x_1,x_2,x_3\) gewöhnliche komplexe Zahlen, und \(\iota_0=1,\iota_1,\iota_2,\iota_3\) die \textit{Hamilton}schen Basisgrößen. Ist ferner \[ \overline{\alpha}=x_0-x_1\iota_1 -x_2\iota_2 -x_3\iota_3 \] das zu \(\alpha\) konjugierte Quaternion, dann heißen \[ \alpha+\overline{\alpha}=Sp(\alpha),\;\alpha \overline{\alpha}=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 =N(\alpha)\;\text{und}\;\alpha \overline{\beta}+\beta \overline{\alpha}=n(\alpha,\beta) \] die Spur von \(\alpha\), die Norm von \(\alpha\) und die Zwischennorm von \(\alpha\) und \(\beta\). Ein Quaternion heiß\ t ganz, wenn seine Spur und seine Norm ganz sind; zwei Quaternionen heißen konkordant, wenn ihre Zwischennorm ganz ist. Die Summe zweier ganzer konkordanter Quaternionen ist wieder ganz. Es werden Systeme von unendlich vielen Quaternionen mit rationaler Norm und Spur betrachtet, in denen Addition, Subtraktion, Multiplikation unbeschränkt und die Division, soweit sie möglich ist, ausgeführt werden können. Eine Quaternionenalgebra \(\mathfrak D\) ist ein solches System, das vier linear unabhängige Quaternionen \(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) enthält. Jedes Quaternion aus \(\mathfrak D\) läß\ t sich also in der Form \[ \xi=x_0 \alpha_0 +x_1 \alpha_1 +x_2 \alpha_2 +x_3 \alpha_3 \] schreiben; \[ N(\xi)=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 \] heiß\ t die Normenform der Basis. Es gilt dann, daß\ eine Basis darin und nur dann Miximalbasis ist, wenn die Normenform eine Stammform ist, und wenn die Koordinaten der Zahl 1 ganz sind. Bezeichnet man die Gesamtheit der Quaternionen, die mit \(\alpha\) und \(\beta\) auch \(\alpha+\beta,\alpha-\beta\) und \(\alpha \cdot \beta\) enthalten, als Integritätsbereich, so ist eine Basis dann und nur darin Minimalbasis, wenn alle Quaternionen mit ganzen Koordinaten einen größten Integritätsbereich bilden. Ein Modul von Quaternionen aus \(\mathfrak F\) enthält mit \(\alpha\) und \(\beta\) stets auch \(\alpha+\beta\) und \(\alpha-\beta\), und es gilt, daß\ jeder Modul eine Basis hat. Ein Modul wird Ideal genannt, wenn seine Determinante das Quadrat seiner Norm ist; das Einheitsideal hat die Norm 1 und enthält die Zahl 1. Es gibt dann unendlich viele verschiedene Einheitsideale; zu jedem Ideal \(\mathfrak a\) gibt es zwei eindeutig bestimmte Einheitsideale \(\mathfrak e_1\) und \(\mathfrak e_2\), so, daß \[ {\mathfrak e}_1{\mathfrak a}={\mathfrak a}\;\text{und}\;{\mathfrak ae_2}={\mathfrak a} \] ist. Hiermit wird bewiesen, daß\ die Ideale von \(\mathfrak D\) bezüglich der Multiplikation ein Gruppoid bilden. Sind \(\varrho\) und \(\sigma\) zwei beliebige Quaternionen, so heiß\ t das Ideal \(\varrho {\mathfrak a}\sigma\) zum Ideal \(\mathfrak a\) äquivalent; die beiden Ideale gehören zur selben Idealklasse. Im Falle \(\varrho=1\) bzw. \(\sigma=1\) spricht man von rechts- bzw. linksseitiger Äquivalenz. Für jedes Ideal ist die Anzahl der Rechts- und Linksidealklassen dieselbe: die Klassenanzahl der Algebra. Die Idealklassen bilden bezüglich der Multiplikation ein endliches Gruppoid. Ferner gilt, daß\ ein ganzes und primitives Ideal dann und nur dann gleichseitig ist, wenn seine Norm ein Teiler \(t\) der Diskriminante ist, und daß\ es für jeden Teiler \(t\) zu jedem Einheitsideal gerade ein einziges derartiges Ideal gibt. Zu jedem Teilersystem \((t)\) gibt es eine Schar von Idealen und Idealklassen, die ebenfalls durch die Multiplikation zu einem Gruppoid verknüpft sind.