A further note on the converse of Fermat's theorem. (Q1440398)

Wenn \(p\) eine Primzahl ist, dann gilt nach \textit{Fermat} für jede durch \(p\) nicht teilbare Zahl \(a\) \[ a^{p-1} \equiv 1\;(p). \] Wenn für eine Zahl \(N\) eine Zahl \(a\) bekannt ist, so daß \[ a^{N-1} \equiv 1 \;(N) \] ist, so ist mit dieser Tatsache die Primzahleigenschaft von \(N\) vereinbar. Es handelt sich darum, durch Zusatzbedingungen über die möglichen Teiler von \(N\) Aufschluß\ zu erhalten. Verf. hat 1927 (F. d. M. 53, 126 (JFM 53.0126.*)) den Satz bewiesen: Wenn \[ a^{N-1} \equiv 1\;(N),\;a^{\frac{N-1}{p}}\equiv r\not\equiv 1\;(N) \] ist, wobei \(p\) eine Primzahl bedeutet, \((r-1,N)=1,N-1=p^\alpha N_1,(N_1,p)=1\), dann haben alle Faktoren von \(N\) die Gestalt \(np^\alpha+1\). In der vorliegenden Note verschärft Verf. dieses Theorem, indem er die Voraussetzung \((r-N,N)=1\) fallen läß\ t und unter der Voraussetzung \((r1,N)=\delta\) beweist, daß\ alle Faktoren von \(\frac N \delta\) die Gestalt \(np^\alpha+1\) haben. Mit Hilfe dieses Theorems weist Verf. nach, daß\ die Zahl \(\frac{2^{61}+1}{3}\), die als Primzahl angegeben ist, wirklich eine Primzahl ist. Von der Zahl \(N=\frac{10^{37}-1}{9}\) wird der Nachweis, daß\ sie nicht Primzahl ist, dadurch geführt, daß\ sich \(7^{N-1}\not\equiv 1(N)\) ergibt; ebenso errechnet Verf., daß\ \(\frac{10^{41}+1}{11}=N\) keine Primzahl ist, indem er \(3^{N-1}\not\equiv 1(N)\) ermittelt.