Über die ganzzahligen Polynome, die für unendlich viele Primzahlmoduln Permutationen liefern. (Q1440405)

Das ganzzahlige Polynom \[ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_n \;(a_n \neq 0) \] liefert in bezug auf die Primzahl \(p\) eine Permutation, wenn die Zahlen \[ f(0),f(1),\dots,f(p-1) \] ein vollständiges Restsystem mod \(p\) bilden. Für ungerades \(n\) liefern die Polynome \[ (1)\quad f(x)=\alpha(\gamma x+\delta)^n+\beta \;(\alpha,\beta,\gamma,\delta \;\text{ganz und rational}) \] für unendlich viele Primzahlen Permutationen. Ist ferner \(T_n(x)\) für \(n > 3\) das \(n\)-te \textit{Tschebyscheff}sche Polynom, setzt man \[ D_n(a,x)=\left( \frac{\sqrt{-4a}}{2^{n-1}} \right)^n T_n \left( \frac{x}{\sqrt{-4a}} \right) \;(a \neq 0, \;\text{ganz und rational}), \] so liefern auch, wie \textit{Dickson} (F. d. M. 28, 137 (JFM 28.0137.*)) gezeigt hat, die Polynome \[ (2)\quad f(x)=\alpha D_n (a,\gamma x+\delta)+\beta \;(\alpha,\beta,\gamma,\delta\;\text{ganz und rational}) \] für unendlich viele Primzahlen Permutationen. Sind nun für eine Zahl \(n\) die Polynome (1) und (2) und die aus ihnen durch Zusammensetzung entstehenden Polynome die einzigen Polynome \(n\)-ten Grades, die für unendlich viele Primzahlen Permutationen liefern, so heiß\ t \(n\) nach \textit{I. Schur} eine \textit{Dickson}sche Zahl. Schur hat gezeigt (F. d. M. 49, 93 (JFM 49.0093.*)), daß\ die ungeraden Primzahlen \textit{Dickson}sche Zahlen sind, und ohne Beweis angegeben, daß\ er auf Grund gruppentheoretischer Betrachtungen zeigen könne, daß\ die ungeraden Zahlen der Form \(p^r\) und \(p^rq^s\) Dicksonsche Zahlen sind. Verf. zeigt nun auf anderem Wege, daß\ für ungerade \(p\) und \(q\) die Zahlen der Form \(pq\) und \(p^r\) Dicksonsche Zahlen sind, indem er beweist, daß\ ein normiertes Polynom \(f(y)\) des Grades \(pq\) oder \(p^r\) nur dann für unendlich viele Primzahlen Permutationen liefern kann, wenn die Monodromiegruppe der durch \(f(y)=x\) definierten algebraischen Funktion von \(x\) imprimitiv ist. In Erweiterung eines Satzes von \textit{Ritt} (Transactions A. M. S. 25 (1923), 399448; F. d. M. 49, 712 (JFM 49.0712.*)) wird gezeigt, daß\ es dann zwei ganzzahlige normierte Polynome \(F(y)\) und \(\varphi(y)\) gibt, derart, daß\ \(f(y)=F(\varphi(y))\) ist. Hieraus ergibt sich die Behauptung auf Grund der Tatsache, daß\ die ungeraden Primzahlen Dicksonsche Zahlen sind. (IV 6 C.)