Ternary characteristics of primes. (Q1440416)

Es werden Diophantische Gleichungen vom Typus \[ x^2-ap^\alpha y^2-bq^\beta z^2=\mu^2 \] oder vom Typus \[ x^2-ay^2-bq^\beta z^2=\mu^2 \] untersucht, wobei \(\mu = 1\) oder 2 ist, \(p, q\) ungerade Primzahlen, \(\alpha,\beta\) natürliche Zahlen \(\equiv 1(4),a,b,x,y,z\) natürliche Zahlen bedeuten, und es wird gefragt, wann Lösungen bei gegebenen \(a, b\) existieren, und wie sich die Gesamtheit der eventuell vorhandenen Lösungen überblicken läßt. Der Hauptgedanke ist nun, die Lösung dieser Gleichung zurückzuführen auf die Lösung von zwei Diophantischen Gleichungen, und zwar: \[ \begin{aligned} (1)\quad &ap^\alpha V^2 +bq^\beta W^2=D\;\text{resp.}\;aV^2+bq^\beta W^2=D \;\text{und}\\ (2)\quad &T^2-DU^2=\mu^2.\end{aligned} \] Es ist klar, daß\, wenn \(p, q, \alpha, \beta, V, W\) willkürlich gewählt werden, dadurch \(D\) bestimmt ist. Zu diesem Wert von \(D\) wird nun die Fundamentallösung der \textit{Pell}schen Gleichung (2) bestimmt; sie sei \(T, U\). Dann ist die allgemeinste Lösung von (2): \(\frac \mu 2 v_n\), \(Uu_n\), wobei die \textit{Lucas}schen Folgen \(u_n,v_n\) durch die Rekusionsformeln \[ u_{n+2}=\frac{2T}{\mu} u{n+1}-u_n,\;v_{n+2}=\frac{2T}{\mu} v_{n+1}-v_n \] und die Anfangswerte \(u_0=0,u_1=1;v_0=2,v_1=\frac{2T}{\mu}\) definiert sind (vgl. auch die vorstehend referierte Arbeit von {it D. H. Lehmer}). Die allgemeinste Lösung der Ausgangsgleichung ist daher für diese Werte von \(p,q,\alpha,\beta,V,W\): \[ x=\frac \mu 2 v_n,\;y=VUu_n,\;z=W Uu_n. \] An dieser Stelle hat sich in der vorliegenden Arbeit ein schwerer Fehler eingeschlichen, indem statt dieser Werte die Werte \[ x=Uu_n,\;y=\mu V \frac{v_n}{2},\;z=\mu W \frac{v_n}{2} \] angegeben sind. Verf. untersucht dann speziell Kongruenzeigenschaften der Lösungen und betrifft sich auf Methoden von \textit{Bonniakowsky}, die von \textit{Liouville} ausgebaut worden sind.