Sul numero delle partizioni di un intero dato. (Q1440447)

Für die Anzahl \(p_{s,N}(n)\) Zerlegungen der positiven ganzen Zahl \(n\) in \(s\) positive ganze, die vorgeschriebene Zahl \(N\) nicht übertreffende Summanden \(x_\sigma\) beweist Verf. den folgenden Satz: \[ (1)\quad p_{s,N}(n) \sim \frac{1}{N(s-1)!} {N \choose s} {\mathfrak B}_{\left[ \frac nN \right]}^{(s-1)} \left( \frac nN-\left[ \frac nN \right) \right]; \] dabei bedeutet \({\mathfrak B}_\alpha^{(\beta)}(\gamma)\) den folgenden Ausdruck: \[ (2)\quad {\mathfrak B}_\alpha^{(\beta)}(\gamma)=\sum_{\nu=0}^\alpha (-1)^\nu {\beta-1 \choose \nu} (\gamma+\alpha-\nu)^\beta. \] Verf. gelangt zu (1) unmittelbar durch ein Resultat aus einer früheren Arbeit (Una questione di probabilità; Atti I. Congresso Nazionale di Scienze delle Assicurazioni, Torino 1928; F. d. M. 54, Kap. IV 16); er hat dort die Wahrscheinlichkeit dafür untersucht, daß \[ \sum_{\sigma=1}^s x_\sigma \] mit \(0<x_\sigma \leqq N\) einen vorgeschriebenen Wert \(n\) hat.