Some applications of Fourier series in the analytic theory of numbers. (Q1440523)

Verfasser beweist zunächst unter ziemlich allgemeinen Voraussetzungen über \(f(x)\) die Poissonsche Formel \[ \sum_{\pm \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{2n \pi ix} f(x)\,dx = \sum_{\pm \infty} \tfrac 12 \{ f(n-0)+f(n+0) \} \tag{1} \] und leitet daraus unter ähnlichen allgemeinen Bedingungen für \(F(x)\) die Gleichung \[ \sum_{\pm\infty,n\not\equiv 0(k)} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(n) e^{\frac{2ni\pi x}{k}}F(x)\,dx=\sum_{\pm \infty} \psi_1(n)\frac 12\{F(n0)+F(n+0)\}\tag{2} \] ab, wo \(k\) eine natürliche Zahl, \(\psi(n+k)=\psi(n)\) für alle ganzen \(n\) und \[ \psi_1(n)=\sum_{r=1}^{k-1} \psi(r) e^{\frac{2\pi inr}{k}} \] ist. Mit Hilfe von (1) bzw. (2) ergibt sich ein ungemein kurzer und einfacher Beweis für die Funktionalgleichung der Riemannschen \(\zeta\)-Funktion bzw. der Dirichletschen \(L\)-Reihen. Verf. gelangt dann durch Anwendung seiner Methode auf gewisse den Dirichletschen \(L\)-Reihen verwandte Funktionen zum Beweise einiger merkwürdiger Lerchscher Formeln für die Darstellung der Klassenzahl eines quadratischen Zahlkörpers durch absolut konvergente Reihen, welche einen komplexen Parameter enthalten.