Zahlentheoretische Abschätzungen mit Anwendung auf Gitterpunktprobleme. II. (Q1440537)

Die Anzahl \(A(G)\) der Gitterpunkte des Bereiches \[ G:\;a \leqq u \leqq b,\;q \leqq v \leqq f(u) \] wird gegeben durch \[ A(G)=\sum_{n=a}^b(f(n)-q+\frac 12)-\sum_{n=a}^b \psi(f(n)), \] wo \[ \psi(x)=x-[x]-\frac 12 \] ist. In der vorliegenden Abhandlung wird nun gezeigt, wie man aus einer bekannten Abschätzung der Summe \[ (1)\quad \sum_{n=a}^b e^{2\pi imf(n)} \] eine möglichst gute Abschätzung von \[ \sum_{n=a}^b \psi(f(n)) \] erhalten kann (im Grunde durch Entwicklung von \(\psi(x)\) in eine Fourierreihe). Durch Verwendung einer vom Verf. bewiesenen Abschätzung der Summe (1) (vgl. das folgende Referat) wird eine allgemeine Formel hergeleitet, die alle zurzeit bekannten Gitterpunktsabschätzungen als Spezialfälle enthält.