Über die asymptotische Verteilung reeller Zahlen mod 1. (Q1440559)

Verf. verallgemeinert Fragestellungen aus der bekannten \textit{Weyl}\,schen Arbeit ``Über die Gleich\-verteilung von Zahlen mod Eins'' [Math. Ann. 77, 313--352 (1916; JFM 46.0278.06)]. -- Sei \[ x_{1n},x_{2n},\dots,x_{nn} \tag{1} \] ein für jedes \(n=1,2,\dots\) gegebenes System von im Intervall \((0,1)\) liegenden reellen Zahlen. Es sei \(m_x(n)\) \((0<x<1)\) die Anzahl derjenigen unter den Zahlen (1), die im abgeschlossenen Intervall \([0,x]\) liegen. Existiert dann der Grenzwert \[ \lim_{n \to \infty} \frac{m_x(n)}{n}=z(x), \] und ist \(z(x)\) stetig, falls man noch die ergänzenden Festsetzungen \(z(0)=0\), \(z(1)=1\) trifft, so sagt man, daß\ sich die Zahlen (1) asymptotisch stetig auf die Strecke \((0,1)\) verteilen; \(z(x)\) heißt die Verteilungsfunktion der Zahlen (1). (\(z(x) = x\) bedeutet Gleichverteilung.) Existiert die Verteilungsfunktion \(z(x)\) und bildet man die \textit{Stieltjes}\,schen Momente \[ \int_0^1 x^k \,dz(x)=\mu_k \quad (k=0,1,2,\dots),\tag{2} \] so gilt \[ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{1n}^k+x_{2n}^k+\cdots +x_{nn}^k}{n}=\mu_k.\tag{3} \] Existiert umgekehrt der Grenzwert (3), und hat das Momentenproblem (2) eine stetige monotone Lösung \(z(x)\), so ist \(z(x)\) die Verteilungsfunktion der Größen (1) (Satz II). Aus der Existenz des Grenzwertes (3) folgert Verf. mit Hilfe eines \textit{Riesz}\,schen Satzes die Lösbarkeit des Momentenproblems (2) durch eine \textit{monotone} Funktion. Für deren \textit{Stetigkeit} gibt er sowohl ein notwendiges und hinreichendes (Hilfssatz 1) als auch ein bequemeres hinreichendes Kriterium (Satz III) an. Ist dieses erfüllt, so sind also nach dem Früheren die Zahlen (1) asymptotisch stetig verteilt. Entsprechende Überlegungen werden mit Hilfe der Fourierschen Momente angestellt. Als Anwendung seiner Sätze berechnet Verf. bei gegebener Verteilungsfunktion \(z(x)\) die Verteilungsfunktion für die reziproken Werte der Größen (1). Schließlich wird gezeigt, daß\ die Zahlen \(\frac{\varphi(\nu)}{\nu}\) eine Verteilungsfunktion besitzen.