Über die Streckenrechnung (Versuch einer axiomatischen Begründung des angenäherten Rechnens). (Q1440580)

Man betrachtet die Näherungszahlen als ``Strecken'' \(a_\alpha\) mit linken Enden \(a\) und und Längen \(\alpha\) (beide rational, \(\alpha>0\)). Wenn die Strecke \(b_\beta\) im Innern der Strecke \(a_\alpha\) liegt, so soll \(a_\alpha\) die Erweiterung von \(b_\beta\) heißen; in Zeichen: \[ a_\alpha\succ b_\beta\;\text{oder}\;b_\beta\prec a_\alpha. \] Man definiert die zu \(a_\alpha\) ``inverse'' Strecke: \[ -a_\alpha\simeq (-a-\alpha)_\alpha \] und die zu \(a_\alpha\) ``reziproke'' Strecke: \[ \frac{1}{a_\alpha}\simeq \left(\frac{1}{a+\alpha}\right)_{\frac{\alpha}{a(a+\alpha)}}. \] Es gelten dann die arithmetischen Operationen: \[ a_\alpha+b_\beta\simeq (a+b)_{\alpha+\beta};\;a_\alpha-b_\beta\simeq a_\alpha+(-b_\beta);\;a_\alpha b_\beta\simeq (ab)_{\alpha\beta+b\alpha+\alpha\beta} \] (wenn \(a_\alpha,b_\beta\) beide ``positiv'' sind, d. h. aus lauter positiven Zahlen bestehen; andernfalls soll die gewöhnliche Vorzeichenregel gelten); \[ a_\alpha:b_\beta\simeq a_\alpha\cdot \frac{1}{b_\beta}. \] Für diese Operationen gelten alle Grundgesetze, das distributive Gesetz ausgenommen; man hat aber \[ (a_\alpha-b_\beta)c_\gamma\prec a_\alpha c_\gamma-b_beta c_\gamma \] (\(a_\alpha,b_\beta\) von gleichem Vorzeichen). Alle vier Operationen sind selbständig: die Subtraktion und die Division sind nicht die inversen Operationen zur Addition bzw. Multiplikation. Bei dieser Streckenrechnung herrscht eine eigentümliche Einseitigkeit, die an physikalische irreversible Prozesse erinnert; ``die relative Länge'' \(\frac \alpha a\) der Strecken wird bei Rechnung im allgemeinen vergrößert (Analogon zur Entropie 1). Man betrachtet ferner Gleichungen mit einer unbekannten Strecke; diese auflösen heißt: eine Erweiterung der unbekannten Strecke finden. Im wesentlichen sind die Strecken \(a_\alpha\) nichts anderes als eine Art verallgemeinerter komplexer Zahlen. (IV 17.)