Note on interchange of order of limits. (Q1440588)

Beweis, daß\ für das Bestehen der Gleichung \[ \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{mn}=\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{mn} \] die folgende Bedingung notwendig und hinreichend ist: Zu jedem \(\varepsilon>0\) lassen sich ein \(n(\varepsilon)\) und ein \(m(\varepsilon)\) so angeben, daß\ zu jedem \(n_1 \geqq n(\varepsilon)\) und zu jedem \(m_1 \geqq m(\varepsilon)\) ein \(M(\varepsilon,n_1)\) und ein \(N(\varepsilon,m_1)\) von der Beschaffenheit existieren, daß \[ | a_{m_1n_2}-a_{m_2n_1}| \leqq \varepsilon \] für jedes \(m_2 \geqq M(\varepsilon,n_1)\) und für jedes \(n_2 \geqq N(\varepsilon,m_1)\) erfüllt ist.