Über Reihen mit positiven Gliedern. (Q1440597)

Es sei die Reihe \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) mit \(a_n \geqq 0\) zu einem positiven Werte \(s>0\) konvergent. Für die drei Sätze \[ \begin{aligned} (1)\quad &\sum_{n=1}^\infty \root n\of{a_1a_2 \dots a_n}<e \cdot s, \\ (2)\quad &\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{a_1^t+a_2^t+\cdots +a_n^t}{n} \right)^{\frac 1t} <(1-t)^{-\frac 1t}s \;(0<t<1),\\ (3)\quad &\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{a_n^t}{n} +\frac{a_{n+1}^t}{n+1}+\cdots \right)^{\frac 1t} <t^{-\frac 1t}s \;(0<t<1),\end{aligned} \] in denen die Konstanten rechts nicht verkleinert werden können, und von denen (2) für \(t=\frac 12\) einem bekannten \textit{Hilbert}schen Satze entspricht, sind in letzter Zeit eine Reihe elementarer Beweise gegeben worden (vgl. F. d. M. 53, 184 (JFM 53.0184.*)). Die vom Verf. hier gegebenen Beweise die im wesentlichen darauf beruhen, daß\ man die Glieder der betrachteten Reihen als Mittelbildungen aus den \(a_n\) auffaßt, sind ganz besonders einfach, einheitlich und deshalb durchsichtig. Satz (2) wird überdies auch für \(t<0\) bewiesen. Endlich werden die Sätze, wie üblich, von Reihen auf Integrale \(\int_1^\infty f(y)dy\) mit \(f(y) \geqq 0\) übertragen.