A summability convergence theorem. (Q1440606)

Im Anschluß\ an Ergebnisse von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} (1912; F. d. M. 43, 312) wird der folgende ``einseitige'' \textit{Satz} bewiesen: Wenn \[ \begin{aligned} | u_0+u_1+\cdots +u_{n-1}|&<\varphi(n),\\ u_n-u_{n+}&<\psi(n)\end{aligned} \] ist und hierbei \(\varphi(n)\) und \(\psi(n)\) positive Funktionen von \(n\) sind, für die für \(n>n_0\) \[ 2 \left[ \frac{\varphi(n)}{\psi(n)} \right]^{\frac 12} \leqq n-1 \] und für alle ganzzahligen \(r\) in \(0 \leqq r \leqq 2 \left[ \frac{\varphi(n)}{\psi(n)} \right]^{\frac 12}\) \[ \varphi(n \pm(r+1))\leqq c \varphi(n),\;\psi(n \pm r) \leqq c \psi(n),\;(c \geqq 1), \] gilt, so ist \[ | u_n| \leqq 2c[\varphi(n)\psi(n)]^{\frac 12}. \]