Sur une question concernant la convergence de séries des fonctions. (Q1440630)

Ist \(\sum a_k\) eine divergente Reihe mit positiven Gliedern, so gibt es (nach \textit{Abel}) bekanntlich stets eine positive Nullfolge \((\lambda_k)\), so daß\ auch die Reihe \(\sum \lambda_k a_k\) noch divergiert. Durch \textit{Banach} und \textit{Steinhaus} (1927; F. d. M. 53, 243 (JFM 53.0243.*)) wurde gezeigt, daß\, wenn \(\sum_k a_{ik}\) abzählbar viele divergente Reihen \((i=1,2,3,\dots)\) mit positiven Gliedern sind, immer noch eine positive Nullfolge \((\lambda_k)\) so angegeben werden kann, daß\ die Reihen \(\sum_k \lambda_k a_{ik}\) alle wieder divergieren. In der vorliegenden Note wird die entsprechende Frage für nicht abzählbar viele Reihen \textit{negativ} entschieden: Es gibt Reihen \(\sum_k a_k(t)\), die für jedes \(t\) in \(0 \leqq t \leqq 1\) divergent sind \((a_k(t)\geqq 0)\), die aber die Eigenschaft haben, daß\ \textit{jeder} positiven Nullfolge \((\lambda_k)\) ein Wert \(t=t_\lambda\) entspricht, für den \(\sum_k a_k(t_\lambda)\) konvergiert.