A theorem concerning the summability of series by Borel's method. (Q1440638)

Verf. gibt einen direkten und elementareren Beweis für \textit{R. Schmidt}s ``tauberian theorem'' für Reihen mit reellen Gliedern welche nach der \textit{Borel}schen Exponentialmethode summierbar sind. Der die Folgerung \(s_n \to s\) aus den beiden Voraussetzungen \[ \begin{aligned} (1)\quad &\lim_{x \to \infty} e^{-x} \sum_{n=0}^\infty \frac{s_nx^n}{n!}=s,\\ (2)\quad &\underline{\lim_{m>n \to \infty}} (s_m-s_n) \geqq 0\end{aligned} \] zu, bei denen \(m\) und \(n\) so gegen unendlich gehen, daß \[ m-n=o(n^{\frac 12}) \] ist. Der Grenzwert \(s\) wird als endlich vorausgesetzt. Verf. zeigt zunächst, daß\ aus den genannten Voraussetzungen \[ s_n=O(1) \] folgt. Auf Grund eines Satzes von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} ergibt sich daher \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{t^2}{2x}} s(t+x)dt=s; \] dabei ist \[ s(y)=s_{[y]}\;\text{für}\;y \geqq 0 \;\text{bzw.}\;s(y)=0 \;\text{für}\;y<0. \] Der \textit{Schmidt}sche Satz wird dann durch Umformung dieses Integrals und Anwendung eines weiteren Lemmas von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} bewiesen.