On the theory of divergent series. (Q1440645)

(1) Der erste Teil der vorliegenden Note befaß\ t sich mit den summatorischen Folgen Sinne von \textit{O. Perron}. (1920; F. d. M. 47, 198 (JFM 47.0198.*)-199). Ist \(\varphi_0(x),\varphi_1(x),\varphi_2(x),\dots\) eine auf einer Menge \(E\) von \(x\)-Werten mit Häufungsstelle \(l\) definierte Folge von Funktionen, so werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür angegeben a) daß\ aus der Konvergenz einer Reihe \(\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu=s\) folgt, daß\ \(\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu \varphi_\nu(x)\) in \(E\) gleichmäßig gegen eine beschränkte Funktion \(\Phi(x)\) konvergiert und \[ \lim_{x \to l} \sum_{\nu=0}^\infty a_\nu \varphi_\nu(x)=s \] ist, wenn \(x\) durch Werte von \(E\) nach \(l\) strebt (Resultat teilweise bei \textit{O. Perron} l. c.), b) daß\ aus \(\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu=s\) die gleichmäßige Konvergenz von \(\sum_{n=0}^\infty s_n \varphi_n(x)\) in \(E\) gegen eine beschränkte Funktion \(\Psi(x)\) und \[ \lim_{x \to l} \sum_{n=0}^\infty s_n \varphi_n(x)=s \] folgt, wo \(s_n\) die Partialsummen der Folge sind. (2) Im zweiten Teil wird eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür angegeben, daß\ aus \[ \lim_{x \to l} \lim_{n \to \infty} f_n(s_0,s_1,\dots,s_n;x)=s,\;\lim_{x \to l} \lim_{n \to \infty} f_n(1,2,\dots,1;x)=1\;\text{folgt}\;\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu=s, \] wenn \(f_n(s_0,s_1,\dots,s_n;x)\) eine homogene lineare Funktion von \(s_0,s_1,\dots,s_n\) (\(x\) aus \(E\)) ist. (Anwendung auf \(f_n=\frac{s_0+s_1+\cdots+s_n}{n+1}\) gibt den Satz von \textit{Kronecker} (C. R. 103 (1886), 980-987).) (3) Der dritte Teil bringt zwei Resultate, die sich auf \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{n}\) beziehen: a) Aus \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{n}=s \;\text{folgt}\;\lim_{n \to \infty} n \sum_{\nu=n}^\infty \frac{a_\nu}{\nu+1}=s \] und umgekehrt. b) Existiert \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{n}\), so kann \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) für kein \(r>0\) summabel \((C,r)\) sein, ohne zu konvergieren.