A new method in Tauberian theorems. (Q1440647)

Die Umkehrsätze (Tauberscher Art) in der Summierungstheorie der divergenten Reihen sind jedenfalls in ihren scharfen Formulierungen meist recht tief gelegen. Zu ihrer Bewältigung sind, je nach dem vorliegenden Summierungsverfahren, spezielle, oft kunstgriffmäßige Überlegungen durchgeführt worden. \textit{Robert Schmidt} [Math. Z. 22, 89--152 (1925; JFM 51.0182.04)] hat zuerst eine allgemeine Methode zur Behandlung von Umkehrsätzen gegeben, die die Mehrzahl der bisherigen Ergebnisse umfaßte. Diese Methode stützt sich wesentlich auf die Stieltjessche Momententheorie. Verf. gibt in der vorliegenden, sehr bemerkenswerten Arbeit eine neue allgemeine Methode an, die gegenüber der Schmidtschen relativ einfach und durchsichtig ist und auch weiter zu tragen scheint. Diese Methode stützt sich wesentlich auf die Theorie des Fourierschen Integrals. Von den bewiesenen Sätzen sehr allgemeiner Natur sei hier der folgende, für die Umkehrprobleme besonders geeignete, genannt: \(F(x)\) sei für \(x \geqq 0\) differentierbar, \(F(0)=1\) und \(F(x)\to 0\) mit \(x \to \infty\). Ferner sei \(F'(x)\leqq 0\), beschränkt und mit \(x \to \infty\) für ein \(\varepsilon>0\) von der Größenordnung \(O \left( \frac{1}{x^{2+\varepsilon}} \right)\). Für groß\ e \(x\) gelte \[ F(\lambda x)<\vartheta F(x) \;(\lambda>1,0<\vartheta=\vartheta(\lambda)<1). \] Endlich sei durch das Integral \[ G(z)=\int_0^\infty F(y)y^{z-1}dy \] eine analytische Funktion erklärt, die auf der Geraden \(R(z)=0\) bis auf einen Pol erster Ordnung in \(z = 0\) regulär ist und daselbst nicht verschwindet. Ist dann \(\psi(x)\) für \(x \geqq 0\) meßbar und daselbst \[ (\text{a})\quad \psi(x)>-\frac Kx \;(K>0), \] so folgt aus \[ (\text{b})\quad \lim_{\varepsilon \to 0} \int_0^\infty F(\varepsilon x) \psi(x)dx=A \] stets \[ (\text{c})\quad \int_0^\infty \psi(x)dx=A. \] Setzt man \(\psi(x)=a_n\) für \(n-1<x \leqq n\), so erhält man unter der Bedingung \[ (1)\quad a_n>-\frac Kn \] unschwer mit \(F(x)=e^{-x}\) den zuerst von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} bewiesenen Umkehrsatz des Abelschen Verfahrens: \[ (\text{A})\quad \text{Aus } \lim_{\varepsilon \to 0} \sum_{n=1}^\infty a_ne^{-\varepsilon n}=A \;\text{und}\;(1)\;\text{folgt}\;\sum_{n=1}^\infty a_n=A. \] Ebenso ergibt \(F(x)=\frac{xe^{-1}}{1-e^{-x}}\) den Abelschen Umkehrsatz für Lambertsche Reihen: \[ (\text{L})\quad \text{Aus } \lim_{\varepsilon \to 0} \sum_{n=1}^\infty a_n \cdot \frac{n \varepsilon e^{-n \varepsilon}}{1-e^{-n \varepsilon}} \;\text{und}\;(1)\quad \text{folgt}\;\sum_{n=1}^\infty a_n=A. \] Dieser Satz wurde zuerst von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} aus dem Primzahlsatze gefolgert. Umgekehrt ist aus ihm der Primzahlsatz unschwer herzuleiten. Der hier gegebene Beweis ist der erste direkt summierungstheoretische. Die Schmidtsche Methode scheint den Satz (L) nicht zu umfassen. Endlich umfaß\ t diese Methode (wie die von Schmidt) auch die bisher bekannten Umkehrsätze des \textit{Borel}schen Verfahrens.