Aufgabe Nr. 36 (gestellt in Jahresbericht D. M. V. 35, 48 (1926). Lösung von L. Tschakaloff. (Q1440655)

Die Aufgabe lautet: Von der komplexen Zahlenfolge \(z_1,z_2,\dots,z_k,\dots\) sei dreierlei vorausgesetzt: (1)\quad Die \(n\) Reihen \(\sum_{k=1}^\infty z_k,\sum_{k=1}^\infty z_k^2,\dots,\sum_{k=1}^\infty z_k^n\) sind konvergent. (2)\quad Es ist \(| z_1|\geqq| z_2| \geqq \cdots \geqq | z_k| \geqq \cdots\). (3) Es gibt zwei reelle Zahlen \(\alpha,\beta\), so daß \[ 0<\beta-\alpha<\frac{2\pi n}{n+1},\;\alpha \leqq \text{arc }z_k \leqq \beta \;(k=1,2,3,\dots). \] Dann ist \(| z_1|^n+| z_2|^n+\cdots +| z_k|^n+\cdots\) konvergent. Der Satz bleibt bestehen, wenn in (1) anstatt Konvergenz nur die Beschränktheit der Partialsummen vorausgesetzt wird; er wird hinfällig, wenn die Voraussetzung (2) weggelassen oder wenn in (3) nur \(\beta-\alpha \leqq 2\pi n(n+1)^{-1}\) vorausgesetzt wird.