Question 629. Lösung und Bemerkung von S. D. Chowla. (Q1440656)

Die Aufgabe fordert den Beweis der Formel \[ \frac{\frac 12+\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2x} \cos ( \pi n^2 \sqrt{1x^2})}{\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2x} \sin ( \pi n^2 \sqrt{1-x^2})} = \frac{\sqrt 2+\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} \] und den Beweis der daraus folgenden Formel \[ \sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}(\pi n^2-\frac 14)=\frac 18. \]