Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung für komplexe Größen. (Q1440703)

Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt bekanntlich im Reellen, daß für eine auf \(<a,b>\) monotone und beschränkte Funktion \(f(x)\) und für eine auf \(<a,b>\) im Riemannschen Sinne integrierbare Funktion \(\varphi(x)\) das Integral \(\int_a^b f(x) \varphi(x)\,dx\) in jede der beiden Formen \[ \begin{aligned} &(f(a+0)-f(b-0))M_1+f(b-0)\int_a^b \varphi(x)\,dx,\\ &f(a+0)\int_a^b \varphi(x)\,dx+(f(b-0)-f(a+0))M_2\end{aligned} \] gesetzt werden kann. Dabei bedeutet \(M_1\) einen Mittelwert aus den Werten, die unter der Bedingung \(a \leqq x \leqq b\) von dem Integral \(\int_a^x \varphi(t)\,dt\) angenommen werden, und \(M_2\) einen Mittelwert aus den von dem Integral \(\int_x^b \varphi(t)\) unter derselben Bedingung angenommenen Werten. Verf. zeigt nun, daß der Mittelwertsatz in diesen beiden Formen auch dann gültig ist, wenn \(f(x)\) auf \(<a,b>\) wie bisher eine monotone und beschränkte, reelle Funktion, aber \(\varphi(x)\) eine \textit{komplexe}, im Riemannschen Sinne integrierbare Funktion der reellen Veränderlichen \(x\) bedeutet. Als Mittelwert der (endlichen oder unendlichen) Menge komplexer Zahlen \(\zeta,\zeta',\zeta'',\ldots\) kann dabei jede im Innern oder auf dem Rande des kleinsten konvexen, die Punkte \(\zeta,\zeta',\zeta'',\ldots\) enthaltenden Gebiets gelegene komplexe Zahl auftreten.