Über wiederholte Quadraturen. (Q1440710)

Es wird die Folge von Funktionen \[ F_n(x)=\int_{z_{n-1}=a}^x \int_{z_{n-2}=a}^{z_{n-1}} \cdots \int_{z=a}^{z_1} F(z)dzdz_1 \dots dz_{n-1} \] betrachtet, sowie die daraus gebildeten Reihen \[ \sum_{n=0}^\infty a_n F_n(x) \] (Quadraturreihen). Es ist \[ \lim_{n \to \infty}F(x)=0, \] und zwar gleichmäßig. Ersetzt man \(a\) durch \(-\infty\) und setzt gleichmäßige Konvergenz voraus, so ist die Grenzfunktion \(Ce^x\), wobei \(C\) auch 0 sein kann. Es läß\ t sich ferner mit Hilfe der \(F_n\) ein Ausdruck bilden, der als Erweiterung des Begriffes Ableitung erscheint. Es folgen noch Anwendungen auf \textit{Hermite}sche Polynome, Kugelfunktionen und auf partielle Differentialgleichungen.