Differentiation with respect to a parameter of the Cauchy principal value of an improper integral. (Abstract) (Q1440756)

Ist eine beliebige reelle Funktion \(f(x)\) gegeben, so wird in der \(x,y\)Ebene durch die Koordinaten \(x,y=f(x)\) eine Menge von ``Funktionspunkten'' festgelegt. Für jedes \(\xi\) haben die Funktionspunkte mit \(x>\xi (x<\xi)\) auf der Ordinate \(x=\xi\) eine lineare abgeschlossene Menge von Häufungspunkten; diese Menge heiß\ t rechte (linke) Limesmenge an der Stelle \(\xi\). Der rechten Limesmenge gehören z. B. \(\overline{\lim_{x \to \xi+0}} f(x)\) und \(\underline{\lim{c \to \xi+0}} f(x)\) an. Die Summe von rechter und linker Limesmenge an der Stelle \(\xi\) heiß\ t schlechthin Limesmenge an der Stelle \(\xi\). In Erweiterung früher vom Verf. bewiesener Sätze (1907, 1905; F. d. M. 38, 420 (JFM 38.0420.*); 39, 469-470) beweist Verf. nun: Abgesehen von höchstens abzählbar vielen Stellen stimmen an jeder Stelle \(\xi\) die aus der Limesmenge an dieser Stelle und dem Funktionswert \(f(\xi)\) bestehende Menge, die rechte Limesmenge und die linke Limesmenge überein. Insbesondere ist also fast überall \[ \overline{\lim_{x \to \xi-0}} f(x)=\overline{\lim_{x \to \xi+0}} f(x); \] \[ \underline{x \to \xi} f(x) \leqq f(\xi) \leqq \overline{\lim{x \to \xi}} f(x). \] Das Beweisverfahren liefert zugleich einen Satz über rechte und linke Limesmenge einer beliebigen Punktmenge. Endlich wird das Ergebnis auf Funktionen von mehreren Variabeln übertragen.