Sur les fonctions absolument continues de fonctions absolument continues. (Q1440763)

Es sei \(f(x)\) eine stetige Funktion. Ist \(\mathfrak M\) eine Punktmenge auf der \(x\)-Achse, so bezeichne \({\mathfrak M}_f\) die Menge derjenigen Werte, welche \(f(x)\) für die Punkte von \(\mathfrak M\) annimmt. Dann gilt der Satz: Dafür daß\ eine stetige Funktion \(f(x)\) eine absolut stetige Funktion von einer absolut stetigen Funktion ist, ist notwendig und hinreichend, daß\ es zu jedem \(\varepsilon>0\) ein \(\delta>0\) gibt, so daß\ das Maß\ von \({\mathfrak M}_f\) kleiner als \(\varepsilon\) ist, wenn das Maß\ von \(\mathfrak M\) kleiner als \(\delta\) ist. Hieraus folgt weiter auch die schon von \textit{Nina Bary} und \textit{Menchoff} angegebene notwendige und hinreichende Bedingung: die Menge der Funktionswerte \(f(x)\), für deren Argumente \(x\) die Ableitung \(f'(x)\) nicht existiert, muß\ das Maß\ Null haben.