The convergence of double Fourier series of a certain type. (Q1440872)

Verf. überträgt einen bekannten Satz von \textit{Fatou} auf die \textit{Fourier}reihe einer Funktion von zwei Variablen. Ist \(f(x,y)\) eine periodische, integrierbare Funktion und \[ (1)\quad f(x,y) \sim \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \left\{ \begin{matrix} a_{mn} \cos mx \cos ny + b_{mn} \cos mx \sin ny \\ +c_{mn} \sin mx \cos ny + d_{mn} \sin mx \sin ny \end{matrix} \right\} \] ist ferner: \(a_{mn},b_{mn},c_{mn}\) und \(d_{mn}=o \left( \frac{1}{mn} \right)\) und \[ \sum_{\nu=1}^n A_{m,\nu}=o \left( \frac 1m \right),\;\sum_{\mu=1}^m A_{\mu,n}=o \left( \frac 1n \right), \] dann ist für die Konvergenz von (1) die Existenz des folgenden Grenzwertes notwendig: \[ \begin{multlined} \lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{1}{4xy} \int_0^x \int_0^y [f(x+u,y+v) +f(x-u,y+v)+f(x+u,y-v) \\ +f(x-u,y-v)]du\;dv=f(x,y). \end{multlined} \]