Über die Annäherung einer stetigen Funktion durch die Cesàroschen Mittel ihrer Fourierreihe. (Q1440877)

Verf. führt zunächst ein Theorem an, welches gleichzeitig von \textit{O. Szász} (1927; F. d. M. 53, 248 (JFM 53.0248.*)-249) und anknüpfend daran von \textit{M. Jacob} (M. Z. 29 (1928), 20-33; F. d. M. 54, 304 (JFM 54.0304.*)) bewiesen wurde und welches eine Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{S. Bernstein} darstellt. Das betreffende Theorem lautet: Ist \[ \varphi(t)=f(x+2t)+f(x-2t)-2f(x) \] und bedeutet \(S_n^{(\delta)}\) die \(n\)-te Partialsumme der nach einem \textit{Cesàro}schen Mittel \(\delta\)-ter Ordnung summierten \textit{Fourier}reihe von \(f(x)\), so folgt aus der Voraussetzung: \[ (1)\quad \frac{1}{h^{1+\alpha}} \int_0^h| \varphi(t)| dt <G(x) \] \[ \text{für}\;\delta>\alpha:\;S_n^{(\delta)}(x)-f(x)=O \left( \frac{1}{n^\alpha} \right) \] und \[ \text{für}\;\delta=\alpha:\;S_n^{(\alpha)}(x)-f(x)=O \left( \frac{\log n}{n^\alpha} \right). \] Diese letzten Beziehungen gelten gleichmäßig auf einer Menge \(\mathfrak A\) aus \(<0,2\pi>\), falls auf derselben die Bedingung (1) erfüllt und \(G(x)\) von \(x\) unabhängig ist. Von diesem Theorem ausgehend, beschäftigt sich Verf. mit dem Annäherungsgrad einer stetigen Funktion für den Fall, daß\ die Fourierreihe derselben gleichmäßig konvergiert bzw. gleichmäßig \((C,\delta)\)-summierbar ist. Hierbei werden für die Funktion \(f(x)\) Voraussetzungen gemacht, welche bei der Konvergenz die endliche Variation und bei der \((C,\delta)\)-Summierbarkeit die \textit{Lipschitz}sche Bedingung als Spezialfall enthalten. Von diesen Betrachtungen gelangt man zu der folgenden Verallgemeinerung eines anderen Satzes von \textit{S. Bernstein}: Ist \(f(x)\) in \(<0,2\pi>\) stetig und von beschränkter Variation, und ist die Derivierte \(f'(x)\) in den Punkten einer in ihrer Stetigkeitsmenge dichten Menge gleichmäßig stetig auf \(<0,2\pi>\), so besteht gleichmäßig im ganzen abgeschlossenen Intervalle \(<0,2\pi>\) der Annäherungsgrad: \[ S_n^{(1)}(x)-f(x)=o \left( \frac{\log n}{n} \right). \]