The ''Fourier'' theory of the cardinal function. (Q1440882)

Ist \[ (1)\quad \sum_{n=1}^\infty (| a_n|^p+| b_n|^p)\;(1<p \leqq 2) \] konvergent, dann ist bekanntlich \[ (2)\quad \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx+b_n \sin nx) \] die \textit{Fourier}reihe einer Funktion aus der Klasse \(L^{\frac{p}{p-1}}\). Ist \(p > 2\), so ist die Reihe (2) nicht unbedingt eine Fourierreihe. In der vorliegenden Arbeit wird unter Voraussetzungen, die (1) als Spezialfall enthalten, bewiesen, daß\ die Reihe (2) eine ``\textit{Fourier-Stieltjes}sche Reihe'' ist, d. h. es gibt eine stetige Funktion \(F(x)\) so, daß: \[ a_n=\frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi \cos nx dF(x),\;b_n=\frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) \] ist. Es wird diesbezüglich der folgende Satz hergeleitet: Damit (2) eine \textit{Fourier-Stieltjes}sche Reihe einer stetigen Funktion \(F(x)\) sei, ist notwendig und hinreichend, daß\ die Reihe: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac 1n(a_n \sin nx-b_n \cos nx) \] die Fourierreihe einer stetigen Funktion \(G(x)\) sei, für die \(G(x)=F(x)+\frac 12 a_0x\) besteht. Daraus folgert nun der Verf: Ist \(\sum_{n=1}^\infty \frac{| a_n|+| a_{-n}|}{n}\) konvergent, dann ist die ``Kardinalreihe'': \[ C(x)=\frac{\sin \pi x}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^n a_n}{x-n} \] absolut konvergent und ihre Summe hat die folgende Gestalt: \[ (3)\quad \int_0^1 (\cos \pi xt d \Phi(t)+\sin \pi xt d \Psi(t)), \] wobei \(\Phi(t)\) und \(\Psi(t)\) stetige Funktionen sind. Umgekehrt gilt: Ist eine in der Form (3) darstellbare Funktion \(f(x)\) gegeben, so ist die Reihe: \[ \frac{\sin \pi x}{\pi} \left[ \frac{f(0)}{x} +\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{f(n)}{x-n} +\frac{f(-n)}{x+n} \right) \right] \] \((C,1)\)-summierbar und hat zur Summe \(f(x)\). Nachdem noch einige Konsistenzeigenschaften der Kardinalreihe hergeleitet worden sind und auf den Zusammenhang zwischen der Fourierreihe und dem Fourierintegral von endlichem Typus einer gegebenen Funktion mittels der interpolierenden Eigenschaft der Kardinalreihe hingewiesen worden ist, führt Verf. die folgende Verallgemeinerung des \textit{de la Vallée-Poussin}schen Interpolationssatzes an: Es sei \(f(x)\) eine reelle, in \((-\infty,\infty)\) definierte Funktion und \[ C_m(x)=\frac{\sin mx}{m} \sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^k \frac{f(a_k)}{xa_k},\;a_k=\frac{k \pi}{m}. \] Ist nun 1) \(f(x)\) beschränkt und \(R\)-integrabel in jedem endlichen Intervalle, 2) \(\frac{f(x)}{x}\) von endlicher Variation im Unendlichen, 3) \(f(x)\) an der Stelle \(x=\xi\) stetig und in der Umgebung von \(x=\xi\) von endlicher Variation, dann gilt: \[ \lim_{m =\infty} C_m(\xi)=f(\xi). \]