Notes on some points in the integral calculus. LXVI. (Q1440886)

Verf. hat mehrfach (1914, 1918; F. d. M. 45, 1290 (JFM 45.1290.*); 46, 410. Vgl. auch \textit{E. B. Elliott}; Journal L. M. S. 1 (1926), 93-96; F. d. M. 52) bewiesen, daß\ aus der Konvergenz der Reihe \(\sum_{n=1}^\infty a_n^2\) die Konvergenz der Reihe \(\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{A_n}{n} \right)^2\) folgt, wenn \(A_n=a_1+\cdots+a_n\) ist. Aus diesem Satz folgt u. a., daß\, wenn \(a_1,a_2,\dots,a_n,\dots\) die \textit{Fourier}koeffizienten einer geraden, die Periode \(2\pi\) besitzenden, der Bedingung \[ \int_0^\pi f(x)dx=0 \] genügenden, der \textit{Lebesgue}schen Klasse \(L^2\) angehörenden Funktion \(f(x)\) sind, die Zahlen \(A_1,\frac 12 A_2,\frac 13 A_3,\ldots\) ebenfalls die Fourierkoeffizienten einer Funktion dieser Klasse sind. In der vorliegenden Note wird dies er Satz ohne weitere Modifikation auf die \textit{Lebesgue}sche Klasse \(L^p\), \(p \geqq 1\), ausgedehnt.