A class of trigonometrical series. (Q1440888)

Das \textit{Riesz-Fischer}sche Theorem, daß\, falls \(\sum| a_n|^2\) konvergiert, die Reihe \(\sum a_n e^{inx}\) im Intervall \((0,2\pi)\) ``im Mittel'' gegen eine Funktion \(f(x)\) von integrierbarem Quadrat konvergiert, daß\ also \[ \lim_{N \to \infty} \int_0^{2\pi}| f(x)-\sum_{n=-N}^{+N} a_n e^{inx}|^2 dx=0 \] ist, wird folgendermaßen verallgemeinert: Es sei \(\lambda_1,\lambda_2,\dots\) eine Folge reeller Zahlen, für die stets \(\lambda_{n+1}-\lambda_n \geqq l >0\) bleibt; wenn dann \(\sum| a_n|^2\) konvergiert, so konvergiert die Reihe \(\sum a_n e^{i \lambda_n x}\) im Mittel über jedes endliche Intervall. Weiter wird bewiesen: wenn die \(\lambda_n\) dieselben Bedingungen erfüllen wie oben wenn \(| f(x)|^2\) über (0, 1) integrierbar ist und \[ \int_0^1 f(x) e^{i \lambda_n x}dx=b_n \] gesetzt wird, so ist \[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}| b_n|^2<A \int_0^1 | f(x)|^2 dx. \] Beide Sätze lassen sich -- ähnlich wie dies für das Riesz-Fischersche Theorem selbst von \textit{Young} und von \textit{Hausdorff} gezeigt wurde -- auf andere Exponenten als 2 ausdehnen.