Über einen Satz des Herrn Serge Bernstein. (Q1440889)

Es handelt sich um das reelle trigonometrische Polynom \(n\)-ter Ordnung \[ (1)\quad f(\varphi)=a_0+\sum_{k=1}^n (a_k \cos k \varphi+b_k \sin k \varphi), \] welches für alle reellen \(\varphi\) der Ungleichung \[ (2)\quad | f(\varphi|\leqq 1 \] genügen soll. Das \textit{Bernstein}sche Resultat \(| f'(\varphi| \leqq n\) wird zu \[ (3)\quad \sqrt{f^{\prime 2}(\varphi)+g^{\prime 2}(\varphi)} \leqq n \] verschärft, wo \(g(\varphi)\) das zu (1) konjugierte trigonometrische Polynom ist. Das Gleichheitszeichen gilt nur für \(f(\varphi)=\cos n(\varphi\varphi_0)\). Es ist sogar \[ (4)\quad n| \sigma(\varphi)|+\sqrt{f^{\prime 2}(\varphi)+g^{\prime 2}(\varphi)} \leqq n, \] wo \(\sigma(\varphi)\) das arithmetische Mittel der ersten \(n\) Abschnitte \(s_1\) bis \(s_n\) von \(f(\varphi)\) bezeichnet. Allgemeiner wird \[ (5)\quad \left\{ \sum_{\nu=1}^n \lambda_{n-\nu} (a_\nu \cos \nu \varphi+b_\nu \sin \nu \varphi) \right\}+\left\{ \sum_{\nu=1}^n \lambda_{n-\nu}(-b_\nu \cos \nu \varphi+a_\nu \sin \nu \varphi) \right\}^2 \leqq \lambda_0^2 \] bewiesen, wenn \(\lambda_0+2 \sum_{\nu=1}^{n-1} \lambda_\nu \cos \nu \vartheta\) ein nicht-negatives Cosinuspolynom ist. Von den interessanten Anwendungen seien genannt: Ist für das Polynom \(P(z)=\sum_0^n c_kz^k\) (\(c_k\) beliebig komplex) in \(| z|\leqq 1\) \[ (6)\quad | \Re(P(z))| \leqq 1, \] so gilt daselbst: \[ (7)\quad | kc_n+(k-1)c_{n-1}+\cdots +c_{n-k+1}| \leqq k;\;k \leqq n. \] \[ (8)\quad | P(\varrho z)-P(z)| \leqq \varrho^n-1; \;1 \leqq \varrho. \]