Détermination de l'ordre de grandeur à l'origine de certaines séries trigonométriques. (Q1440891)

I. Bekanntlich ist \[ f(x)=\sum_1^\infty \frac{\sin nx}{\psi(n)}, \] wenn \(\psi(n)\) mit \(n\) monoton \(\to \infty\) geht, für \(x\not\equiv 0 (\mod 2\pi)\) stetig. Es sei überdies \(\psi(n)>0\). Verf. gibt die folgenden Sätze: (1) Wenn \(\psi(n+1)-\psi(n)\) nicht wächst, existiert und ist \(0<f(+0) \leqq +\infty\), und überdies gilt \[ f(x)=O \left( \frac{1}{x \psi \left( \frac 1x \right)} \right),\;\frac{1}{f(x)}=O \left( x \psi \left( \frac 1x \right) \right) \;(x \to 0). \] \(\psi(x)\) ist dabei eine mit \(x\) monoton \(\to \infty\) gehende Funktion, für die \(\psi'(x)\) monoton wächst, und die für \(x=n\) die \(\psi(n)\) liefert. (2) Wenn \(\psi(n+1)-\psi(n)\) nicht abnimmt, existiert ein endliches \(f(+0)\geqq 0\), \(f(x)\) ist für kleine \(x > 0\) positiv, und es gilt \[ f(x)=O(\varphi(x)),\;\frac{1}{f(x)}=O \left( \frac{1}{\varphi(x)} \right),\;\varphi(x)=x \int_1^{\frac 1x} \frac{t}{\psi(t)} dt \;(x \to 0). \] (3) Wenn \(\frac{\psi(n)}{n}\) monoton gegen \(\lambda>0\) konvergiert, ist \(f(+0)=\frac{\pi}{2\lambda}\). II. Ähnliche Sätze werden über \[ F(x)=\sum_1^\infty \frac{\cos nx}{\psi(n)} \] genannt.