Einige Sätze, die sich auf das Vorzeichen einer ganzen rationalen Funktion beziehen, nebst Anwendungen. (Q1440896)

Es handelt sich zunächst um das Vorzeichen eines reellen, nicht identisch verschwindenden Polynoms \[ g(r)=c_0+c_1r+\cdots +c_nr^n \] für \(0<r<1\). Durch systematische Untersuchung der durch wiederholte partielle Summierung nach den \(c_i\) entstehenden neuen Formen für \(g(r)\) (in \S\,1) werden in \S\,2 eine Reihe einfacher, aber interessanter Aussagen gewonnen, insbesondere: (1) (Satz VI): Sind die ersten \(n+1\) \textit{Cesàro}schen Mittel \(k\)-ter Ordnung aus den \[ s_\nu=c_0+c_1+\cdots+c_\nu\;(\nu \leqq n) \] nicht negativ, so ist \(g(r)>0\) für \(0<r<\frac{1}{k+1}\). (2) (Satz IX): Sind die ersten \(n + 1\) Cesàroschen Mittel erster Ordnung aus den \(s_\nu\) nicht negativ, so besitzt \(g(r)\) in \(0<r<1\) höchstens eine Nullstelle \(\alpha\), und zwar ist \(g(r)>0\) für \(0<r<\alpha\) und \(g(r)<0\) für \(\alpha<r<1\). In \S\,3 werden einige neuere Sätze über des Vorzeichen der Abschnitte ebener und räumlicher positiver harmonischer Entwicklungen (\textit{Fejér, Pólya, Rogosinski, Szegö}) aus dem Vorigen leicht hergeleitet. Die Heranziehung der \textit{Laguerre}schen Zeichenregel (Verallgemeinerung der \textit{Descartes}schen Regel auf reelle Potenzreihen), angewandt auf \(\frac{g(r)}{(1-r)^k}\), liefert in \(\S\) 4 noch einmal den Satz unter (2) und seine Verallgemeinerung (3) (Satz XVI): Sind die ersten \(n + 1\) Cesàroschen Mittel zweiter Ordnung aus den \(s_\nu\) nicht negativ, so besitzt \(g(r)\) für \(0<r<1\) höchstens zwei Nullstellen. In \S\,5 wird, wieder durch partielle Summierung, bewiesen (4) (Satz XVIII): Sind die ersten \(n+1\) Cesàroschen Mittel zweiter Ordnung aus den \(s_\nu\) nicht negativ, so ist das Cesàrosche Mittel erster Ordnung von \(g(r)\), nämlich \[ \sigma_n(r)=\frac{1}{n+1} \{(n+1)c_0+nc_1r+\cdots+c_nr^n \} \] für \(0<r<\frac 23\) positiv und besitzt überhaupt in \(0<r<1\) höchstens eine Nullstelle. \(\frac 23\) ist die beste Konstante. (3) und (4) gestatten interessante Anwendungen auf räumliche positive harmonische Entwicklungen. \S\,6 gibt den folgenden interessanten Satz (5) (Satz XIX): Es sei \[ g(z)=c_0+c_1z+\cdots +c_nz^n \] ein nicht konstantes komplexes Polynom. Sind die ersten \(n+1\) Cesàroschen Mittel erster Ordnung aus den \[ s_\nu=c_0+c_1+\cdots +c_\nu \;(\nu \leqq n) \] absolut \(\leqq 1\), so ist \(| g(z)|<1\) für \(0<| z|<\frac 12\), und für reelles \(0<z<1\) gibt es höchstens eine Stelle \(\zeta\) mit \(| g(\zeta)|=1\). \(\frac 12\) ist die beste Konstante. Hierin sind neuere Sätze von \textit{Fejér, Rogosinski} und \textit{Szegö} über in \(|z|<1\) beschränkte Potenzreihen enthalten. In \(\S\) 7 wird die Positivität gewisser trigonometrischer Summen mittels systematischer partieller Summierung untersucht. Insbesondere wird ein von \textit{Lukács} stammender Satz, wonach die arithmetischen Mittel erster Ordnung der Abschnitte der formalen Reihe \[ \sum_{k=1}^\infty \sin k \vartheta \;\text{für}\;0\leqq \vartheta \leqq \pi \] nicht negativ sind, in sehr einfacher Weise bewiesen. Endlich wird ein neuer, sehr schöner Beweis für die bekannte Tatsache gegeben, daß\ die Abschnitte der Reihe \[ \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k \vartheta}{k} \;\text{für} \;0<\vartheta<\pi \] positiv sind.