Sur la meilleure approximation des fonctions mesurable et bornées à l'aide des polynomes ou des sommes trigonométriques limitées. (Q1440901)

Es handelt sich um die Bestapproximation einer in \(<a,b>\) meßbaren beschränkten Funktion \(f(x)\) durch Polynome \(\Pi_n(x)\) vom Grade \(\leqq n\), und zwar in zweierlei Sinne: Es soll \[ E_n^{(\alpha)}(f)=\text{obere Grenze}\;| f(x)-\Pi_n(x)| \] bzw. \[ E_n^{(\beta)}(f)=\text{obere Maßgrenze}\;| f(x)-\Pi_n(x)| \] ein Minimum werden. Die Existenz der Bestapproximierenden \(\Pi_n^{(\alpha)}(x)\) bzw. \(\Pi_n^{(\beta)}(x)\) wird bewiesen. Die obere Maßgrenze einer in \(<a,b>\) meßbaren beschränkten Funktion \(\varphi(x)\) ist dabei eine Zahl \(\Phi\), so daß\ für jedes \(\varepsilon>0\) \[ m \{\varphi \geqq \Phi-\varepsilon\}>0,\;\text{aber}\;m\{ \varphi \geqq \Phi+\varepsilon \}=0 \] ist. Bewiesen wird ferner: I. Eine einzige Unstetigkeit von \(f(x)\) in \(<a,b>\) hat \(\lim_{n \to \infty} E_n^{(\alpha)}(f)>0\) zur Folge während stets \(\lim_{n \to \infty} E_n^{(\beta)}(f)=0\) ist. II. Es sei \(p(x)\) in \(<a,b>\) nicht negativ, und für jede Teilmenge \(E\) von \(<a,b>\) mit \(m(E)>0\) sei \(\int_E p(x)dx>0\). Es existiert dann unter allen Polynomen vom Grade \(\leqq n\) ein Polynom \(P_{m,n}(x)\) so, daß \[ I_{n,m}=\int_a^b p(x)| f(x)-P_{n,m}(x)|^m dx \;(m>1) \] ein Minimum wird. Ferner: (1) bei festem \(n\) sind die Gesamtheit der \(\Pi_n^{(\beta)}(x)\) die Grenzpolynome der \(P_{n,m}(x)\) bei beliebigem \(m_r \to \infty\); \[ (2)\quad \lim_{m \to \infty} I_{n,m}^{\frac 1m}=E_n^{(\beta)} (f). \] III. Ist \(f(x)\) stetig in \(<a,b>\), so ist \(\Pi_n^{(\alpha)}(x) \equiv \Pi_n^{(\beta)}(x)\). Analoge Aussagen gelten für trigonometrische Approximation.