Über einige trigonometrische Reihen. (Q1440918)

Zur Ergänzung der bekannten Cosinusentwicklung von \(\log \sin \frac x2\) wird die für \(0<x<\pi\) gültige Sinusentwicklung berechnet. Es ergibt sich: \[ \begin{multlined} \log \sin \frac x2=-\frac 2\pi \left\{ \frac 11 \frac{\sin x}{1}+\frac 11 \frac{\sin 2x}{1}+ \left( \frac 21+\frac 13 \right) \frac{\sin 3x}{3}+\left( \frac 11 +\frac 13 \right) \frac{\sin 4x}{4} \right. \\ +\cdots +\left( \frac 21+\frac 23+\cdots +\frac{2}{2n-3}+\frac{1}{2n-1} \right) \frac{\sin(2n-1)x}{2n-1} \\ \left.+\left( \frac 11+\frac 13+\cdots +\frac{1}{2n-1} \right) \frac{\sin 2nx}{n}+\cdots \right\}. \end{multlined} \] Hieraus ergeben sich in ersichtlicher Weise die in \(0<x<\pi\) gültigen Sinusentwicklungen von \(\log \cos \frac x2\), \(\log \sin x\) und \(\log \text{tg} \frac x2\). Ferner wird die \textit{Kummer}sche Reihe für \(\log \Gamma(x)\) mit Hilfe der Formel \[ \lim_{\varepsilon \to 0} \left\{ \log \varepsilon +\int_\varepsilon^\infty \frac{\cos x}{x}dx \right\}=-C, \] wo \(C\) die Eulersche Konstante ist, hergeleitet.