The extremum modulus of an integral function. (Q1440958)

(1) Die Werte \(z\), für welche der absolute Betrag einer ganzen Funktion \(f(z)\) oder dessen Quadrat ein Extremum wird, müssen die Gleichung befriedigen: \[ (*)\quad z f(z)f'(z)=0. \] (2) Ist \(f(z)=\sum(u_\nu+iv_\nu)\), denn werden die Punkte \(z\) die Schnittpunkte der beiden Kurven: \[ \begin{aligned} & \sum u_r \cdot \sum \nu v_\nu-\sum v_\nu \cdot \sum \nu u_\nu=0, \\ &\sum u_\nu \cdot \sum \nu u_\nu+ \sum v_\nu \cdot \sum \nu v_\nu=0.\end{aligned} \] (3) Genügen diese Punkte der Gleichung \((*)\), aber \textit{nicht} der Gleichung \[ zf(z)f''(z)=0, \] so liegt weder ein Maximum noch ein Minimum vor In den Nullstellen von \(f(z)\) ist \(| f(z)|\) gewiß\ ein Minimum. (4) Die Extrema von \(e^{g(z)}\) (\(g(z)\) ganze Funktion) können in \(z = 0\) oder in den Nullstellen von \(g'(z)\) (wenn \(z\) \(g''(z)=0\)) liegen.