Über die Abschnitte von Potenzreihen, die in einem Kreise beschränkt bleiben. (Q1440973)

Die Verf. untersuchen die Abschnitte von Potenzreihen, die in einem Kreise beschränkt bleiben, z. B. im Einheitskreise \(<1\). Ganz besonders werden mit Hilfe verschiedener bekannter Abschätzungsverfahren geeignete Abschnittskoppelungen im Sinne von \textit{Rogosinski} untersucht. Dabei werden folgende Sätze gewonnen: \[ f(z)=c_0+c_1z+c_2z^2+\cdots \] bedeute eine im Einheitskreise beschränkte Potenzreihe mit \(|f(z)|\leqq 1\), gehöre also der Klasse \(E\) an. \(s_n(z)\) sei ihr \(n\)-ter Abschnitt, d. h. \[ s_n(z)=c_0+c_1z+\cdots +c_nz^n. \] 1. Als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ eine Ahschnittskoppelung von der Form \[ x_n(z)=\alpha s_n \left( ze^{\frac an} \right) +\beta s_n \left( ze^{\frac bn} \right),\;(\alpha \neq 0,\beta \neq 0, a \neq b,n \geqq 1) \] gleichmäßig für alle \(n\) und alle \(| z|\leqq 1\) innerhalb \(E\) beschränkt bleibt, ergibt sich die Relation \[ \alpha e^a+\beta e^b=0. \] Die Betrachtung von Radial- und Kreiskoppelungen ergibt folgende Spezialfälle: 2. In \(| z|\leqq 1\) gilt \[ \left| \frac{s_n(\varrho z)-\varrho^n s_n(z)}{1-\varrho^n} \right|\leqq 1 \;(0 \leqq \varrho 1,n=1,2,\dots). \] Das Gleichheitszeichen tritt nur für \(f(z)=\varepsilon,|\varepsilon|=1\) ein. 3. Bezeichnet \(M_n\) die obere Grenze des absoluten Betrages der symmetrischen Kreiskoppelungen \[ s_n \left( ze^{\frac{i \pi}{2n}} \right)+s_n \left( ze^{-\frac{i \pi}{2n}} \right) \] für \(| z|\leqq 1\) innerhalb \(E\), so ist \[ M_n=2\sin \frac{\pi}{2n} \sum_{\nu=0}^{n-1} P_\nu^2 \left( \cos \frac{\pi}{2n} \right), \] wo \(P_n(x)\) das \(n\)-te \textit{Legendre}sche Polynom bedeutet. Es gilt deshalb innerhalb \(E\) für alle \(n\) und alle \(| z|\leqq 1\) \[ \left| \frac{s_n \left( ze^{\frac{i \pi}{2n}} \right)+s_n \left( ze^{\frac{i \pi}{2n}} \right)}{2} \right| <\int_0^{\frac \pi 2} J_0^2(x) dx=1,0777 \dots. \] Die Konstante auf der rechten Seite kann durch keine kleinere ersetzt werden. Die Sätze 2. und 3. gestatten verschiedene Anwendungen, z. B. die Verschärfung eines früheren Resultates von \textit{I. Schur} und \textit{Szegö}, auf gewisse trigonometrische Polynome usw. Endlich geben die Verf. ähnliche Sätze für ebene und räumliche harmonische Entwicklungen.