Sur une condition à laquelle satisfont les coefficients des séries entières prolongeables. (Q1440994)

Es bedeute \(A\) eine abgeschlossene Punktmenge in der \(z\)-Ebene, \(\varrho\) den Radius des kleinsten \(A\) enthaltenden Kreises mit dem Mittelpunkt \(z=0\) und \(\sigma\) den Radius des kleinsten Kreises mit demselben Mittelpunkt, der alle Kondensationspunkte von \(A\) enthält. Es sei ferner \(T_n(z)=z^n+\cdots\) dasjenige Polynom \(n\)-ten Grades das in \(A\) möglichst wenig von Null verschieden ist, \(\tau_n=\text{Max}| T_n(z)|\) für \(z<A\) und \(\tau\) der nach \textit{Fekete} existierende \(\lim_{n \to \infty} \root n\of {\tau_n}\). Ferner sei \(\varrho\) der Konvergenzradius der Reihe \(\sum_{\nu=0}^\infty \frac{a_\nu}{z^{\nu+1}}\) die eine auf der zu \(A\) komplementären Menge reguläre und eindeutige Funktion \(f(z)\) darstelle. Setzt man die aus den Zahlen \(a_n,a_{n+1},\dots,a_{n+2k-2}\) gebildete Hankelsche Determinante \(k\)-ter Ordnung gleich \(A_n^{(k)}\) und läß\ t man \(n\) mit \(k\) so variieren, daß\ \(\lim_{k \to \infty} \frac{k}{k+n}=\kappa>0\) ist, so gilt \[ \overline{\lim_{k \to \infty}}| A_n^{(k)}|^{\frac{1}{(n+k-1)k}} \leqq \sigma^{1-\kappa}\tau^\kappa. \]